日本語技法 No.7

$\forall$ と $\exists$ (その3)

前回の解答例は以下のようになる。

主張者	数式による翻訳	真偽	理由
A(例)	$\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x\geq 3)$	偽	$1$ も実数だが $3$ 以上ではない。
B	$\exists x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x\geq 5)$	真	$x=10$ がその例である。
C(例)	$\forall x \exists y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(y\geq x+5)$	真	あなたの $x$ に対して 生徒 C は $y=x+6$ を用意すれば良い。
D(例)	$\exists x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x\geq y+5)$	偽	そのような $x$ があったとすると、あなたが $y$ として $x$ をとると矛盾が生じる。
E	$\forall x \in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x+y=3)$	真	あなたの $x$ に対して 生徒 E は $y=(3-x)$ とすれば良い。
F	$\exists x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x+y=3)$	偽	そのような $x$ があったとするとあなたが $y=-x$ にとると矛盾が生じる。
G	$\exists x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(xz=y)$	真	G が $x=0,y=0$ と決めれば、 どのような $z\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対しても $xz=0 z=0=y$ である。
H	$\forall x\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\exists y\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\exists z\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(z=\frac{x+y}{2})$	真	先手の $x$ に対して後手が $y=x$ に選んだとしよう。 このとき先手は $z=x$ を選べば良い。
I	$\forall x\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\exists y\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\forall z\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(z\neq\frac{x+y}{2})$	真	先手の $x$ に対して後手が $y=-x+1$ に選べば $\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}$ は整数にならず先手が $z$ としてどんな整数を選んでも負けである。

一般的に、「$\forall$ のついた変数については先生(あなた)が言い、 $\exists$ のついた変数については生徒(わたし)が言う」 というように役割分担をして、ゲーム仕立てにすると分かりやすいようである。

問題 7.1 (気の利いた)   $\exists$, $\forall$ に関するレベル2かレベル3相当の問題 を作成し、問題と解答例を書きなさい。