微分積分学概論 AI 要約 NO.1

本講義の目的 : 極限と連続性の詳論

第一回目の主題 : 数学の表記法

定義 1.1. 以下この講義では次のような記号を用いる。 (1) ℤ : 整数全体のなす集合。

(2) ℚ : 有理数全体のなす集合。

(3) ℝ : 実数全体のなす集合。

(4) ℂ : 複素数全体のなす集合。

◎集合と、その元との区別が大事。「実数の集合を一つ考える。」というのと、「実数を一つ考える。」というのをよく意識して区別すること。

1.1. 写像、全射、単射、全単射.

定義 1.2. (“1.1.4”) 集合 X から Y への写像 f が与えられているとは、 X の各元 x に対して、それに対応する元が (“正しく計算すれば誰でも同じ答えが得られるように”) 与えられているときにいう。

f が単射であるとは、 X の相異なる元 x_{1}, x_{2} にたいしてはいつでも f(x_{1}) ≠ f(x_{2}) がなりたつときにいう。

f が全射であるとは、 Y のどの元 y にたいしても、 X のある元 x があって、 f(x) = y がなりたつときにいう。

1.2. 実数の集合の例、上限、上界.

定義 1.3. (“1.1.3”) 実数 a, b について、閉区間 [a, b] と開区間 (a, b) をつぎの式で定める。

[a, b] = {x ∈ ℝ|a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ ℝ|a < x < b}

◎ [a, b] には端点があって、そこでのようすは [a, b] のほかの点のようすと大きく異っている。それに対して、 (a, b) の各点はどの点も似ている。

定義 1.4. (“1.1.2”) ℝ の部分集合 A が与えられているとする。このとき (1) a ∈ ℝ が A の上界 (upper bound) であるとは、

∀x ∈ A(x ≤ a)

(つまり、どの x ∈ A をもってきても x ≤ a ) が成り立つときに言う。

(2) a ∈ ℝ が A の上限 (supremum) であるとは、 A の上界のうち最小のものをいう。

◎集合の上界は存在するとは限らない。また、上界が存在したとしても一般にはいくつもあることに注意。

定義 1.5. (“1.1.2”) 集合 A ⊂ ℝ が上に有界であるとは、 A が上界を少なくとも一つもつときに言う。

次の定理は実数の基本的な性質である。次回以降詳しく解説する。

定理 1.1. (“定理 1.1”) ℝ の部分集合 A で、上に有界なものは、必ず上限を唯一つもつ。

例題 1.1.

S = {x ∈ ℝ; x^{3} − 25x < 0}

は上界をもつだろうか、もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。

問題 1.1.

S = {x ∈ ℝ; x^{4} − 30x^{3} − 100 < 0}

は上界をもつだろうか、もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。