微分積分学概論AI要約 No.1

本講義の目的 :

第一回目の主題 :

定義 1.1   以下この講義では次のような記号を用いる。

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ : 整数全体のなす集合。

2. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ : 有理数全体のなす集合。

3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ : 実数全体のなす集合。

4. ${\mathbb{C}}$ : 複素数全体のなす集合。

◎集合と、その元との区別が大事。 「実数の集合を一つ考える。」というのと、「実数を一つ考える。」というのを よく意識して区別すること。

定義 1.2   実数 $a,b$ について、閉区間 $[a,b]$ と開区間 $(a,b)$ を つぎの式で定める。

$$[a,b] =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a\leq x \leq b\}$$

$$(a,b) =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a < x < b\}$$

◎ $[a,b]$ には端点があって、そこでのようすは $[a,b]$ のほかの点の ようすと大きく異っている。それに対して、$(a,b)$ の各点はどの点も似ている。

上限, 上界

定義 1.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $A$ が与えられているとする。 このとき

1. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が $A$ の上界 (upper bound)であるとは、
   $$\forall x\in A (x\leq a)$$
   (つまり、どの $x\in A$ をもってきても $x\leq a$ ) が成り立つときに言う。
2. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が $A$ の上限(supremum)であるとは、 $A$ の上界のうち最小のものをいう。

◎ 集合の上界は存在するとは限らない。 また、上界が存在したとしても一般にはいくつもあることに注意。

定義 1.4   集合 $A\subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が上に有界であるとは、 $A$ が上界を少なくとも一つもつときに言う。

次の定理は実数の基本的な性質である。次回以降詳しく解説する。

定理 1.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $A$ で、上に有界なものは、必ず上限を唯一つもつ。

問題 1.1  

$$S=\{ x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$; x^3-25 x -100 <0\}$$

は上界をもつだろうか、 もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、 もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。