微分積分学概論AI要約 No.2

$\bullet$ 定義とは、 言葉の使い方のとりきめのことである。 数学では、どのような言葉も、そのような取り決めなしで使われることはない。 (ただし、「整数」「有理数」、「和」、「積」などの言葉をきちんと定義するのは 手間がかかる。 それらについて詳細に定義するのは この講義では控える。 (端的に言えば、整数は帰納法を援用して定義し、 有理数は整数の「商」 $m/n$ に適当な「等しいかどうかの判定規則」と 定義する。) それらについて詳細に定義するのは この講義では控える。 実数は有理数の極限として 定義するのだが、今日はその「極限」の話題である。)

$\bullet$ $\forall$ と $\exists$ とはなにか。

$$\forall x ....$$

は、「どんな $x$ に対しても、 $....$ がなりたつ」という意味。

$$\exists x ....$$

は、「なにかある一つの $x$ に対しては、 $....$ がなりたつ」という意味で用いる。

正の整数の全体のことをこの講義では ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ と書く。 数列とは、数学的には次のように定義できる。

定義 2.1   実数列 $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ とは、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ への写像 のことである。

数列が「収束する」ということの厳密な定義をしよう。 それには、絶対値を用いる。

定義 2.2  

$$% latex2html id marker 790\vert x\vert= \sqrt{x^2} = \begi... ...x & \text{ if } x\geq 0\\ -x & \text{ if } x< 0\\ \end{cases}$$

(ただし平方根は0以上のほうを選ぶ。)

上の平方根を使う定義は次のように 高次元の空間にも容易に拡張できるという長所を持つ。

$$\vert\vert(x_1,x_2,\dots,x_n)\vert\vert=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots + x_n^2}$$

定義 2.3   実数列 $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ が実数 $c$ に収束するとは、

$$\forall \epsilon>0 \exists N (n>N \implies \vert a_n -c\vert<\epsilon)$$

がなりたつときに言う。

この定義が使いこなせるようになれば、この講義の目標の 80% は 達せられたと言って良い。

例題 2.1   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n= \begin{cases} 1 & \text{$n$ が $10$ の倍数のとき}\\ 0 & \text{その他のとき}\\ \end{cases}$$

で定義するとき、 $a_n$ は何かある値に収束するだろうか。 上の定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

問題 2.1   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n= \begin{cases} 1/n & \text{$n$ が $10$ の倍数のとき}\\ 0 & \text{その他のとき}\\ \end{cases}$$

で定義するとき、 $a_n$ は何かある値に収束するだろうか。 上の定義に基づいて理由を述べて答えなさい。