微分積分学概論AI要約 No.3

収束の定義は前回の定義 2.4で述べた通りである。 それでは定義 2.4 の判定法を満たす $c$ は唯一つだろうか？

定理 3.1   数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が(ある人が確かめたところ) $c$ に収束し、 (別の人が確かめたところ) $c'$ にも収束するなら、

$$c=c'$$

である。つまり、数列の収束先は存在するとしたら唯一つしかない。

そこで、つぎのように定義することができる。

定義 3.1   数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ がある数 $c$ に収束するとき、

$$\lim_{n\to \infty} a_n=c$$

と書いて、$c$ のことを $\{a_n\}$ の極限と呼ぶ。

$\bullet$ 三角不等式

$$\vert a+b\vert\leq \vert a\vert+\vert b\vert \qquad(\forall a,\forall b\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

定理 3.2 (``定理1.2'')  

1. $$\lim_{n\to \infty} a_n =\alpha \ {\Leftrightarrow}\ \lim_{n\to \infty} \vert a_n -\alpha\vert=0$$

2. $a_n \leq b_n \quad(\forall n)$ で、かつ $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ が 収束するなら、
   $$\lim_{n\to \infty} a_n \leq \lim_{n\to \infty} b_n$$

3. $a_n \leq c_n \leq b_n \quad(\forall n)$ で、かつ $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ が 同じ数 $\alpha$ に収束するなら、 $\{c_n\}$ も $\alpha$ に収束する。

定理 3.3 (``定理1.3'')   収束する数列は有界である。

定理 3.4 (``定理1.4'')   実数列 $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ はそれぞれ収束するとする。このとき、

1. 「極限をとる」という操作は線形である。すなわち、 $\forall \lambda,\mu\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して $\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n)$ は収束して、
   $$\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n) = \lambda (\lim_{n\to \infty} a_n) +\mu (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

2. 「実数の乗法は連続である。」
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

3. 実数の除法は「連続」である。 もっと詳しく言うと、 $\lim_{n\to \infty} b_n\neq 0$ なら、 有限個の例外を除いて $b_n\neq 0$ であって、
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n /b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) /(\lim_{n\to \infty} b_n).$$

定義 3.2   実数列 $\{a_n\}$ が単調増加であるとは、

$$\forall n \forall m (n \geq m \implies a_n \geq a_m)$$

がなりたつときにいう。

次の定理は、既知の数から未知の数 ($e$ など) を作り出すときに有効である。

定理 3.5 (``定理1.5'')       上に有界な単調増加数列は収束する。

問題 3.1   実数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が $c$ に収束するとき、

$$\{a_n^3+ 5 a_n^2+7\}_{n=1}^\infty$$

は収束すると言えるだろうか。言えるならばその収束先と理由を、言えないならば 反例を作りなさい。 (注意: 今回の講義で証明する定理をただ用いるのではなく、 収束の定義に戻って ($\epsilon$ -$N$ 論法で)説明すること。)