微分積分学概論 AI 要約 NO.5

単調増加・減少数列, 数 e 定理 5.1. (“例 1.8”)

a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

とおく。このとき {a_{n}}_{n=1}^{∞} はある正の値に収束する。定義 5.1. 収束値

lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n}

のことを e と書き、ネイピアの数とか、自然対数の底と呼ぶ。命題 5.2. ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} は収束し、

e ≤ ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}

がなりたつ。問題 5.1. 正の単調減少実数列 {a_{n}} が与えられているとき、

\{\frac{a_{n}}{n} \}_{n=1}^{∞}

なる数列は必ず収束すると言えるだろうか？収束するならば収束値とその証明を、言えない場合には反例を挙げなさい。

A α alpha アルファギリシャ文字の表。 ; • 左から順に、大文字、小 ; 文字、英語での読み、日本 ; 語での読み方を書いた。 (た ; だし、「日本語での読み方」 ; はだいたいの目安に過ぎ ; ない。 ) ; • A, B, E など、通常のア ; ルファベットと同じに見え ; る文字は、ふつうは数学で ; は用いられない。 ; • 逆に、同じ読みでも二つ ; 以上の文字がある場合、数 ; 学では二つを区別し、それ ; ぞれ別の意味で用いること ; がある。
B β beta  ベータ
Γ γ gamma ガンマ
Δ δ delta  デルタ
E ϵ, ε epsilon イプシロン
Z ζ zeta  ゼータ
H η eta  エータ
Θ θ, ϑ theta  シータ
I ι iota  イオタ
K κ kappa カッパ
Λ λ lambda ラムダ
M μ mu  ミュー
N ν nu  ニュー
Ξ ξ xi  グザイ
O o omicron オミクロン
Π π, ϖ pi  パイ
P ρ, ϱ rho  ロー
Σ σ, ς sigma シグマ
T τ tau  タウ
Υ υ upsilon ウプシロン
Φ ϕ, φ phi  ファイ
X χ chi  カイ
Ψ ψ psi  プサイ
Ω ω omega オメガ