微分積分学概論AI要約 No.5

定理 5.1 (``例1.8'')  

$$a_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

とおく。このとき $\{a_n \}_{n=1}^\infty$ はある正の値に収束する。

定義 5.1   収束値

$$\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

のことを $e$ と書き、ネイピアの数とか、自然対数の底と呼ぶ。

命題 5.2   $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$ は収束し、

$$e\leq \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$

がなりたつ。

問題 5.1   正の単調減少実数列 $\{a_n\}$ が与えられているとき、

$$\left\{\frac{a_n}{n}\right \}_{n=1}^\infty$$

なる数列は必ず収束すると言えるだろうか？ 収束するならば収束値とその証明を、 言えない場合には反例を挙げなさい。