微分積分学概論 AI 要約 NO.6

区間縮小法と部分列

定理 6.1. (“定理 1.6”[区間縮小法]) \underline{閉}区間の列 I_{n} について、 I_{1} ⊃ I_{2} ⊃ I_{3} ⊃ I_{4} ⊃ … がなりたつとする。このとき、

⋂_{n} I_{n} ≠ ∅.

さらに、 I_{n} の長さを length(I_{n}) と書くとき、

lim_{n→∞}(length(I_{n})) = 0

のなりたつならば、 ⋂_{n} I_{n} はただ一点のみからなる。

定義 6.1. 数列 {a_{n}} が与えられているとする。このとき、自然数の増加列 n_{1} < n_{2} < n_{3} … を定めて、

{a_{n_{j}}; j = 1, 2, 3, … } = {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} = {a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, a_{n_{3}}, … }

を {a_{n}} の部分列という。 (教科書の 1.2.6 は少し書き間違いがあるので注意。 )

例えば

{a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}, a_{9}, a_{11}, a_{13} … } = {a_{2k−1}}_{k=1}^{∞}

や

{a_{2}, a_{3}, a_{5}, a_{7}, a_{11}, a_{13}, … }

({a_{n}} のうち素数番目のものをとりだしたもの), {a_{2}, a_{4}, a_{8}, a_{16}, a_{32}, a_{64}, a_{128} … } = {a_{2^{k}}}_{k=1}^{∞}

などはすべて {a_{n}} の部分列である。

定理 6.2. (“定理 1.9”)[ボルツァノ・ワイエルシュトラス] 有界な数列は、収束する部分列を持つ。

問題 6.1. 数列 {a_{n}} を

a_{n} = \begin{cases}\frac{2n+5}{n^{3}+3n+5} & (n が素数のとき) \\ \frac{2n+5}{n^{3}+3n+5} + 1 & (n が上記以外でかつ (素数+1) と等しいとき) \\ \frac{2n+5}{n^{3}+3n+5} + 2 & (n が上記以外でかつ (素数+2) と等しいとき) \\ \frac{2n+5}{n^{3}+3n+5} + 3 & (n が上記以外でかつ (素数+3) と等しいとき) \\ \frac{2n+5}{n^{3}+3n+5} + 4 & (n が上記以外のとき。 ) \end{cases}

で定義する。このとき、 (1) {a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{15}} のグラフを折れ線グラフで描きなさい。

(2) {a_{n}} の部分列 {a_{n_{j}}} で、 1 に収束するものの例を実際に挙げ (この部分の証明は今回は省略して良い)、

j > N ⟹ |a_{n_{j}} − 1| < \frac{1}{512}

を満たす N の値の例を挙げなさい (こちらは証明も書くこと。 )。