微分積分学概論AI要約 No.6

定理 6.1 (``定理1.6''[区間縮小法])   閉区間の列 $I_n$ について、 $I_1\supset I_2 \supset I_3 \supset I_4 \supset \dots$ がなりたつとする。このとき、

$$\bigcap_{n} I_n \neq \emptyset.$$

さらに、 $I_n$ の長さを $\operatorname{length}(I_n)$ と書くとき、

$$\lim_{n\to \infty}(\operatorname{length}(I_n))=0$$

のなりたつならば、 $\bigcap_{n} I_n$ はただ一点のみからなる。

定義 6.1   数列 $\{a_n\}$ が与えられているとする。このとき、 自然数の増加列 $n_1<n_2<n_3\dots$ を定めて、

$$\{a_{n_j} ; j=1,2,3,\dots\}=\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty =\{a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots\}$$

を $\{a_n\}$ の部分列という。 (教科書の 1.2.6 は少し書き間違いがあるので注意。)

例えば

$$\{a_1,a_3,a_5,a_7,a_9,a_{11}, a_{13}\dots\}=\{a_{2 k-1}\}_{k=1}^\infty$$

や

$$\{a_2,a_3,a_5,a_7,a_{11},a_{13},\dots\}$$

($\{a_n\}$ のうち素数番目のものをとりだしたもの),

$$\{a_2,a_4,a_8,a_{16},a_{32},a_{64}, a_{128}\dots\}=\{a_{2^k}\}_{k=1}^\infty$$

などはすべて $\{a_n\}$ の部分列である。

定理 6.2 (``定理1.9'')   [ボルツァノ・ワイエルシュトラス] 有界な数列は、収束する部分列を持つ。

問題 6.1  

数列 $\{a_n\}$ を

$$a_n= \begin{cases} \frac{2 n + 5}{n^3+3 n + 5}& \text{($n$ ... ... 5}{n^3+3 n + 5}+4& \text{($n$ が上記以外のとき。)} \end{cases}$$

で定義する。このとき、

1. $\{a_1,a_2,a_3,\dots,a_{15}\}$ のグラフを折れ線グラフで描きなさい。
2. $\{a_n\}$ の部分列 $\{a_{n_j}\}$ で、 $1$ に収束するものの例を 実際に挙げ(この部分の証明は今回は省略して良い)、
   $$j>N \implies \vert a_{n_j} -1 \vert<\frac{1}{512}$$
   を満たす $N$ の値の例を挙げなさい(こちらは証明も書くこと。)。