微分積分学概論 AI 要約 NO.7

コーシー列定義 7.1. 数列 {a_{n}} がコーシー列であるとは、

∀ϵ > 0∃N∀n, m ≥ N |a_{n} − a_{m}| < ϵ

がなりたつときに言う。補題 7.1. 実数の収束列はコーシー列である。定理 7.1 (“定理 1.8”). コーシー列は収束列である。問題 7.1.

c_{j} = \frac{1}{j + 2^{j}}

とおく。このとき

{c_{1}, c_{1} + c_{2}, c_{1} + c_{2} + c_{3}, c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4}, … }

はコーシー列であることを示しなさい。 (すなわち、

a_{j} = ∑_{k=1}^{j} a_{k}

とおいたとき、 {a_{j}}_{j=1}^{∞} はコーシー列であることを示しなさい。 )