微分積分学概論AI要約 No.7

定義 7.1   数列 $\{a_n\}$ がコーシー列であるとは、

$$\forall \epsilon>0 \exists N \forall n,m \geq N \quad \vert a_n-a_m\vert<\epsilon$$

がなりたつときに言う。

補題 7.1   実数の収束列はコーシー列である。

定理 7.1 (``定理1.8'')   コーシー列は収束列である。

問題 7.1  

$$c_j=\frac{1}{j+2^j}$$

とおく。このとき

$$\{ c_1,c_1+c_2,c_1+c_2+c_3,c_1+c_2+c_3+c_4,\dots\}$$

はコーシー列であることを示しなさい。 (すなわち、

$$a_j=\sum_{k=1}^j a_k$$

とおいたとき、 $\{a_j\}_{j=1}^\infty$ はコーシー列であることを示しなさい。)