微分積分学概論 AI 要約 NO.8

関数の極限値・左極限、右極限。今回から、関数の話に話題の重点をうつす。これから、「a の近くで定義されている (実数値) 関数 f 」という言

い方をもちいることがある。これは、次の二つの状況を同時に満足していることを言い表す言葉である。

(1) f は ℝ のある部分集合 S 上定義されている関数 (f : S → ℝ) である。

(2) S は a を含むある開区間 I を部分集合として含む

定義 8.1 ( “1.3.2” ). f は実数 a の近くで定義された関数であるとする。このとき、 x が a に近づくときの f(x) の極限値は A である ( 「x → a のとき f は A に収束する」とも言う) とは、

∀ϵ > 0, ∃δ > 0; (0 < |x − a| < δ ⟹ |f(x) − A| < ϵ)

が満たされるときに言う。

(x → a の過程において、「x = a を許さない」というのが一つのポイントである。 )

補題 8.1. 上の定義の状況のもとで、関数 f(x) の x が a に近づくときの極限値は存在するとすれば唯一つである。

定義 8.2. f(x) の x → a の極限を (それがもし存在すれば、 )

lim_{x→a} f(x)

とかく。

定義 8.3 ( “1.3.3” ). f は実数 a の近くで定義された関数であるとする。このとき、 x が a に近づくときの f(x) の右極限値は A である ( 「x ↓ a のとき f は A に収束する」とも言う) とは、

∀ϵ > 0, ∃δ > 0; (0 < x − a < δ ⟹ |f(x) − A| < ϵ)

が満たされるときに言う。 f および a が与えられたとき、右極限値ももし存在すれば一意的である。これを

lim_{x↓a} f(x) あるいは lim_{x→a+0} f(x)

と書く。左極限値も同様に定義される。

問題 8.1.

lim_{x→0} \frac{(sin(x))^{2}}{x}

はいくらか。 (結果が正しいことを極限の定義に基づいて証明せよ。 ) ただし、三角函数の性質のうち、次のことは証明なしに用いて良い。 (1) 任意の x ∈ ℝ にたいし、 −1 ≤ sin(x) ≤ 1 である。

(2) 任意の x ∈ ℝ にたいし、 −x ≤ sin(x) ≤ x である。