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微分積分学概論AI要約 No.8

\fbox{関数の極限値・左極限、右極限。}

今回から、関数の話に話題の重点をうつす。

これから、 「$ a$ の近くで定義されている(実数値)関数 $ f$ 」 という言い方をもちいることがある。これは、 次の二つの状況を同時に満足していることを 言い表す言葉である。

  1. $ f$ $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ のある部分集合 $ S$ 上定義されている関数 ( $ f: S\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ )である。
  2. $ S$$ a$ を含むある開区間 $ I$ を部分集合として含む

定義 8.1 ( ``1.3.2'' )  

$ f$ は実数 $ a$ の近くで定義された関数であるとする。このとき、 $ x$$ a$ に近づくときの $ f(x)$極限値$ A$ である (「$ x\to a$ のとき $ f$$ A$ に収束する」とも言う) とは、

$\displaystyle \forall \epsilon>0, \exists \delta>0;
( 0<\vert x-a\vert<\delta  \implies  \vert f(x)-A\vert<\epsilon)
$

が満たされるときに言う。

($ x\to a$ の過程において、「$ x=a$ を許さない」というのが 一つのポイントである。)

補題 8.1   上の定義の状況のもとで、関数 $ f(x)$$ x$$ a$ に近づくときの極限値は 存在するとすれば唯一つである。

定義 8.2   $ f(x)$$ x\to a$ の極限を(それがもし存在すれば、)

$\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)
$

とかく。

定義 8.3 ( ``1.3.3'' )  

$ f$ は実数 $ a$ の近くで定義された関数であるとする。このとき、 $ x$$ a$ に近づくときの $ f(x)$右極限値$ A$ である (「 $ x\downarrow a$ のとき $ f$$ A$ に収束する」とも言う) とは、

$\displaystyle \forall \epsilon>0, \exists \delta>0;
( 0<x-a<\delta  \implies  \vert f(x)-A\vert<\epsilon)
$

が満たされるときに言う。$ f$ および $ a$ が与えられたとき、右極限値も もし存在すれば一意的である。これを

$\displaystyle \lim_{x\downarrow a} f(x)$    あるいは $\displaystyle \lim_{x\to a+0} f(x)
$

と書く。左極限値も同様に定義される。

問題 8.1  

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{(\sin(x))^2}{x}
$

はいくらか。(結果が正しいことを極限の定義に基づいて証明せよ。)

ただし、三角函数の性質のうち、次のことは証明なしに用いて良い。

  1. 任意の $ x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいし、 % latex2html id marker 884
$ -1\leq \sin(x)\leq 1$ である。
  2. 任意の $ x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいし、 % latex2html id marker 889
$ -x\leq \sin(x)\leq x$ である。



2008-06-04