微分積分学概論 AI 要約 NO.9

極限に関する定理

定理 9.1 (“教科書定理 1.9”). 3 つの関数 f, g, h が、実数 a を含む区間 D で定義されており、 x ∈ D (x ≠ a) で、 f(x) ≤ g(x) とする。このとき、

(1) x → a のときの f(x), g(x) の極限がともに存在すれば、

lim_{x→a} f(x) ≤ lim_{x→a} g(x).

(2) x ∈ D(x ≠ a) の範囲で、 f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) であって、なおかつ

lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} g(x) (この等しい値を A とおく)

がなりたつとすると、 h(x) も x → a のときの極限が存在して、 A に等しい。

定理 9.2. f, g が a の近くで定義されており、

lim_{x→a} f(x) = A, lim_{x→a} g(x) = B

がそれぞれ存在するとする。このとき、 (1) lim_{x→a}(c_{1}f(x) + c_{2}g(x)) = c_{1}A + c_{2}B. (但し c_{1}, c_{2} ∈ ℝ.)

(2) lim_{x→a}(f(x) · g(x)) = AB.

(3) B ≠ 0 のとき、ある正の実数 c が存在して、 g(x) は (a−c, a+c) で (定義されてなおかつ) 0 以外の値をとり、

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} .

問題 9.1. f(x) = x^{3} + 3x − 5 とおく。このとき、正の実数 ϵ にたいして、

|x − 1| < δ ⟹ |f(x) − f(1)| < ϵ

をみたすような正の数 δ の例あげて、実際それを確かめなさい。

命題 9.3. 関数 f(x) が a の近くで定義されており、

lim_{x→a} f(x) = f(a)

がなりたつとする。このとき、点列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} が a に収束すれば、

lim_{n→∞} f(a_{n}) = f(a)

である。

命題 9.4. 関数 f(x) が a を含む開区間 D 上で定義されており、ある実数 A にたいして

「a に収束する D 内の任意の数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} にたいして、

lim_{n→∞} f(a_{n}) = A

がなりたつ。」をみたせば、

lim_{x→a} f(x) = f(a)

である。