微分積分学概論AI要約 No.9

定理 9.1 (``教科書定理1.9'')   3つの 関数 $f,g,h$ が、 実数 $a$ を含む区間 $D$ で定義されており、 $x\in D$ $(x\neq a)$ で、 $f(x)\leq g(x)$ とする。このとき、

1. $x\to a$ のときの $f(x),g(x)$ の極限がともに存在すれば、
   $$\lim_{x\to a} f(x) \leq \lim_{x\to a} g(x).$$

2. $x\in D (x\neq a)$ の範囲で、 $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ であって、 なおかつ
   $$\lim_{x\to a } f(x)=\lim_{x\to a} g(x) \quad($$この等しい値を $A$ とおく$$)$$
   がなりたつとすると、 $h(x)$ も $x\to a$ のときの極限が存在して、 $A$ に等しい。

定理 9.2   $f,g$ が $a$ の近くで定義されており、

$$\lim_{x\to a}f(x)=A,\quad \lim_{x\to a}g(x)=B$$

がそれぞれ存在するとする。このとき、

1. $\lim_{x\to a}(c_1 f(x)+c_2 g(x))=c_1 A +c_2 B$ . (但し $c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .)
2. $\lim_{x\to a}( f(x)\cdot g(x))= A B$ .
3. $B\neq 0$ のとき、ある正の実数 $c$ が存在して、 $g(x)$ は $(a-c,a+c)$ で(定義されてなおかつ) 0 以外の値をとり、
   $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}.$$

問題 9.1   $f(x)=x^3+3 x- 5$ とおく。このとき、正の実数 $\epsilon$ にたいして、

$$\vert x-1\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(1)\vert<\epsilon$$

をみたすような正の数 $\delta$ の例あげて、実際それを確かめなさい。

命題 9.3   関数 $f(x)$ が $a$ の近くで定義されており、

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

がなりたつとする。 このとき、点列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が $a$ に収束すれば、

$$\lim_{n\to \infty}f(a_n)=f(a)$$

である。

命題 9.4   関数 $f(x)$ が $a$ を含む開区間 $D$ 上で定義されており、ある実数 $A$ にたいして

「$a$ に収束する $D$ 内の任意の数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ にたいして、

$$\lim_{n\to \infty}f(a_n)=A$$

がなりたつ。」

をみたせば、

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

である。