微分積分学概論AI要約 No.10

定義 10.1   $f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。 このとき、$f$ が $a$ で連続であるとは、

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

がなりたつときにいう。

極限の定義により、上の定義は次のように言い換えられる。

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; (0< \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$$

$x=a$ の場合を考慮に加えると、次のような定理がなりたつことがわかる。

定理 10.1   $f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。 このとき、 $f$ が $a$ で連続であることは、次の条件と同値である。

(☆) $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

上の定義で、 $\vert x-a\vert$ は $x$ と $a$ の距離、 $\vert f(x)-f(a)\vert$ は $f(x)$ と $f(a)$ の距離であることに注意する。上の定理による連続性の「定義」は 多変数関数や、距離空間のあいだの写像の連続性の定義に そのまま一般化することができる。

上の定理は「定理」ではあるが、 連続性の定義における ``$x=a$ '' の「例外的な扱い」を取り除いてむしろ 自然な形をしている。そこでこの講義ではもっぱら連続性を確かめるには 上の定理の(☆)で判定することにする。

例題 10.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上で定義された関数 $f(x): x\to x^4-5 x^3$ にたいして、

1. $$\vert x-5\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(5)\vert <0.1$$
   を満たす正の数 $\delta$ の例を挙げ、 実際にそれがなりたつことを確かめなさい。

2. $$\vert x-5\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(5)\vert <0.01$$
   を満たす正の数 $\delta$ の例を挙げ、 実際にそれがなりたつことを確かめなさい。

3. $f(x)$ は $x=5$ で連続であることを (☆)を確かめることにより証明しなさい。

◎ $\forall, \exists, \implies$ の否定。

一般に、

• 「 $\forall x P(x)$ 」 の否定は 「 $\exists x (\neg P(x))$ 」 である。
• 「 $\exists x P(x)$ 」 の否定は 「 $\forall x (\neg P(x))$ 」 である。
• 「 $P \implies Q$ 」 の否定は 「 $P$    かつ $(\neg Q)$ 」 である。

したがって、(☆)の否定、すなわち、 「$f$ が $a$ で連続でない」ことは、 次のように書き表すことができる。

(★) $\exists \epsilon>0; \forall \delta>0 \ ( \vert x-a\vert<\delta \$    かつ $\ \vert f(x)-f(a)\vert\geq \epsilon)$

問題 10.1   関数 $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を

$$% latex2html id marker 860f(x)= \begin{cases} \sin(1/x) & ... ...q 0 \text{ のとき })\\ 0 & (x =0 \text{ のとき }) \end{cases}$$

で定義するとき、 $f$ は $x=0$ で連続ではないことを証明しなさい。