微分積分学概論 AI 要約 NO.12

逆関数・一様連続性次のことは、簡単だが大変重要である。

定理 12.1. (1) 関数 f : X → Y が全単射ならば、 f の逆写像が存

在する。

(2) 逆に関数 f : X → Y が逆写像を持つならば、 f は全単射である。

(3) 関数 f の逆写像は、存在すれば一意的である。

連続関数の場合はどうであろうか。一変数では関数の単調性がキーになる。定義 12.1 (“1.3.6”). 実数のある区間 I で定義された関数 f が狭義単調増加関数であるとは、

x_{1}, x_{2} ∈ I, x_{1} < x_{2} ⟹ f(x_{1}) < f(x_{2})

をみたすときにいう。定理 12.2 (“教科書定理 1.16”). f が閉区間 [a, b] 上の狭義単調増加な連続関数であれば、

f : [a, b] → [f(a), f(b)]

の逆関数

f^{−1} : [f(a), f(b)] → [a, b]

が存在する。さらに、この f^{−1} は連続で、かつ狭義単調増加である。

話は全然違うが、一様連続性についても紹介しておこう。 (使うのは二学期の積分論のとき。 ) 定義 12.2. 実数直線の部分集合 X 上定義された関数 f : X → ℝ が一様連続であるとは、 ∀ϵ > 0∃δ > 0; (∀x ∈ X∀y ∈ X (|y − x| < δ ⟹ |f(y) − f(x)| < ϵ)) がなりたつときにいう。

◯ f が X で連続であることは

∀ϵ > 0∀x ∈ X∃δ > 0; (∀y ∈ X (|y − x| < δ ⟹ |f(y) − f(x)| < ϵ)) で表現されることに注意しよう。 x と δ の登場順に注意。

例 12.1. (一様連続な関数とそうでない関数)

(1)

f_{1} : ℝ ∋ x → x^{2} ∈ ℝ

は ℝ 上で連続だが一様連続ではない。 (2)

f_{2} : ℝ ∋ x → sin(x) ∈ ℝ

は ℝ 上で連続で、一様連続でもある。次の定理も区間縮小法からの帰結である。証明は教科書を参照のこと。

定理 12.3. 閉区間 [a, b] 上の連続関数 f は一様連続である。問題 12.1. 指数関数

f : ℝ ∋ x → e^{x} ∈ ℝ

は ℝ 上では一様連続ではないことを示しなさい。 (但し、指数法則 e^{x}e^{y} = e^{x+y}

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と e^{0} = 1, e^{1} = e > 2 は証明なしに用いても良い。また、帰納法により容易に得られる式

e^{n} > 1 + n (n = 1, 2, 3, …)

も用いて良い。 )