微分積分学概論AI要約 No.12

次のことは、簡単だが大変重要である。

定理 12.1  

1. 関数 $f:X\to Y$ が全単射ならば、 $f$ の逆写像が存在する。
2. 逆に 関数 $f:X\to Y$ が逆写像を持つならば、$f$ は全単射である。
3. 関数 $f$ の逆写像は、存在すれば一意的である。

連続関数の場合はどうであろうか。一変数では関数の単調性がキーになる。

定義 12.1 (``1.3.6'')   実数のある区間 $I$ で定義された関数 $f$ が狭義単調増加関数であるとは、

$$x_1,x_2\in I , x_1< x_2 \implies f(x_1)< f(x_2)$$

をみたすときにいう。

定理 12.2 (``教科書定理1.16'')   $f$ が閉区間 $[a,b]$ 上の狭義単調増加な連続関数であれば、

$$f: [a,b] \to [f(a), f(b)]$$

の逆関数

$$f^{-1}: [f(a),f(b)]\to [a,b]$$

が存在する。 さらに、この $f^{-1}$ は連続で、かつ狭義単調増加である。

話は全然違うが、一様連続性についても紹介しておこう。 (使うのは二学期の積分論のとき。)

定義 12.2   実数直線の部分集合 $X$ 上定義された関数 $f: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が 一様連続であるとは、

$$\forall \epsilon>0 {\mathbf \exists \delta>0} ; \left( {\mathbf... ...ert y-x\vert<\delta \ \implies \ \vert f(y)-f(x)\vert<\epsilon \right) \right)$$

がなりたつときにいう。

◯ $f$ が $X$ で連続であることは

$$\forall \epsilon>0 {\mathbf \forall x\in X} {\mathbf \exists \d... ...ert y-x\vert<\delta \ \implies \ \vert f(y)-f(x)\vert<\epsilon \right) \right)$$

で表現されることに注意しよう。$x$ と $\delta$ の登場順に注意。

例 12.1 (一様連続な関数とそうでない関数)  

1. $$f_1:$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\ni x\to x^2 \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$
   は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上で連続だが一様連続ではない。

2. $$f_2:$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\ni x\to \sin(x) \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$
   は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上で連続で、一様連続でもある。

次の定理も区間縮小法からの帰結である。証明は教科書を 参照のこと。

定理 12.3   閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数 $f$ は一様連続である。

問題 12.1   指数関数

$$f:$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\ni x\to e^x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$

は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上では一様連続ではないことを示しなさい。 (但し、指数法則

$$e^x e^y=e^{x+y}$$

と $e^0=1$ , $e^1=e>2$ は証明なしに用いても良い。また、帰納法により容易に得られる式

$$e^n >1+n \qquad (n=1,2,3,\dots)$$

も用いて良い。)