微分積分学概論 AI 試験予想問題

(同じ問題がでるわけではありません。実際の問題はこれより少し難しいでしょう。 )

問題 14.1. f(x) = x^{3} + 3x^{2} − 5x + 7 とおく。正の数 ϵ と実数 a が与えられたとするとき、

|x − a| < δ ⟹ |f(x) − f(a)| < ϵ

をみたす δ > 0 を一つ挙げ、実際にその δ が上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答)

δ = min(1, \frac{ϵ}{(3|a|^{2} + 9|a| + 9)})

と置けば良い。実際、このとき、 x − a = h とおいて、

|h| = |x − a| < δ

とすると

|h| < 1, (あ)

(3|a|^{2} + 9|a| + 9)|h| < ϵ. (い)

がなりたつ。さらに (あ) から

(う)  |h| ≥ |h|^{2} ≥ |h|^{3}.

がなりたつ。これらに注意して |f(x) − f(a)| を下のように評価すれば良い。

|f(x) − f(a)|
=|(a + h)^{3} + 3(a + h)^{2} − 5(a + h) + 7 − (a^{3} + 3a − 5a + 7)|
=|3a^{2}h + 3ah^{2} + h^{3} + 6ah + 3h^{2} − 5h|
≤|3a^{2}h| + |3ah^{2}| + |h^{3}| + |6ah| + |3h^{2}| + |5h|
≤_{(う)}|3a^{2}||h| + |3a||h| + |h| + |6a||h| + 3|h| + 5|h|
=(3|a|^{2} + 9|a| + 9)|h| <_{(い)} ϵ

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(発展) 上の f は ℝ で一様連続ではないことを示しなさい。問題 14.2. f(x) = \frac{1}{x^{2}} とおく。 ϵ > 0 が与えられたとするとき、

|x − 10| < δ ⟹ |f(x) − f(10)| < ϵ

をみたす δ > 0 を一つ挙げ、実際にその δ が上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答)

δ = min(1, ϵ)

とおけばよい。実際、このとき、 x − 10 = h とおいて、

|h| = |x − 10| < δ

とすると

|h| < 1, (あ) |h| < ϵ. (い)

がなりたつ。さらに (あ) から

(う)  |h| ≥ |h|^{2},
(え)  |(10 + h)| ≥_{三角不等式}10 − |h| ≥_{(あ)} 9.

がなりたつ。これらに注意して |f(10 + h) − f(10)| を下のように評価すれば良い。

|f(10 + h) − f(10)|
= |\frac{1}{(10 + h)^{2}} − \frac{1}{10^{2}} |
= |\frac{10^{2} − (10 + h)^{2}}{10^{2}(10 + h)^{2}} |
= |\frac{−20h − h^{2}}{10^{2}(10 + h)^{2}} |
= |\frac{1}{10^{2}(10 + h)^{2}} | · |20h + h^{2}|
≤ |\frac{1}{10^{2}(10 + h)^{2}} | · (|20h| + |h^{2}|) (三角不等式)
≤_{(う)} |\frac{1}{10^{2}(10 + h)^{2}} | · (20|h| + |h|)
= |\frac{1}{10^{2}(10 + h)^{2}} | · (21|h|)
≤_{(え)}\frac{1}{10^{2} · 9^{2}} · 21|h| ≤ |h| <_{(い)} ϵ
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問題 14.3. (その他ガチンコ勝負が一問)