微分積分学概論AI試験予想問題

(同じ問題がでるわけではありません。実際の問題はこれより 少し難しいでしょう。)

問題 14.1   $f(x)=x^3+3x^2-5x+7$ とおく。 正の数 $\epsilon$ と実数 $a$ が与えられたとするとき、

$$\vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$$

をみたす $\delta>0$ を一つ挙げ、実際にその $\delta$ が 上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答)

$$\delta=\min(1,\frac{\epsilon}{ (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9)})$$

と置けば良い。 実際、このとき、 $x-a=h$ とおいて、

$$\vert h\vert=\vert x-a\vert<\delta$$

とすると

$$\vert h\vert<1,$$ (あ)

$$(3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9)\vert h\vert<\epsilon.$$ (い)

がなりたつ。さらに (あ)から

$$\vert h\vert \geq \vert h\vert^2 \geq \vert h\vert^3.$$ (う)

がなりたつ。 これらに注意して $\vert f(x)-f(a)\vert$ を下のように評価すれば良い。

$$\vert f(x)-f(a)\vert$$

$$= \vert(a+h)^3+3(a+h)^2-5(a+h)+7-(a^3+3 a -5 a +7)\vert$$

$$= \vert 3 a ^2 h + 3 a h^2 + h^3 +6 a h + 3 h^2 -5 h\vert$$

$$\leq \vert 3 a ^2 h\vert +\vert 3 a h^2\vert + \vert h^3\vert +\vert 6 a h\vert + \vert 3 h^2\vert + \vert 5 h\vert\qquad$$

$$\underset{\text{(う)}}{\leq} \vert 3 a ^2\vert \vert h\vert +\vert... ...ert h\vert +\vert 6 a\vert \vert h\vert + 3 \vert h\vert + 5 \vert h\vert\qquad$$

$$= (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9 ) \vert h\vert \underset{\text{(い)}}{<}\epsilon$$

$\qedsymbol$

(発展) 上の $f$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ で一様連続ではないことを示しなさい。

問題 14.2   $f(x)=\frac{1}{x^2}$ とおく。 $\epsilon>0$ が与えられたとするとき、

$$\vert x-10\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(10)\vert<\epsilon$$

をみたす $\delta>0$ を一つ挙げ、実際にその $\delta$ が 上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答)

$$\delta=\min(1,\epsilon)$$

とおけばよい。 実際、このとき、 $x-10=h$ とおいて、

$$\vert h\vert=\vert x-10\vert<\delta$$

とすると

$$\vert h\vert<1,$$ (あ)

$$\vert h\vert<\epsilon.$$ (い)

がなりたつ。さらに (あ)から

$$\vert h\vert \geq \vert h\vert^2 ,$$ (う)

$$\vert(10+h)\vert\underset{\text{三角不等式}}{\geq} 10-\vert h\vert \underset{\text{(あ)}}{ \geq} 9.$$ (え)

がなりたつ。これらに注意して $\vert f(10+h)-f(10)\vert$ を下のように評価すれば良い。

$$\vert f(10+h)-f(10)\vert$$

$$= \left\vert\frac{1}{(10+h)^2}-\frac{1}{10^2}\right\vert$$

$$= \left\vert\frac{10^2-(10+h)^2}{10^2 (10+h)^2}\right\vert$$

$$= \left\vert\frac{-20 h - h^2}{10^2 (10+h)^2}\right\vert$$

$$= \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot \vert 20 h+h^2\vert$$

$$\leq \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( \vert 20 h\vert+\vert h^2\vert) \qquad( )$$

$$\underset{\text{(う)}}{\leq} \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( 20 \vert h\vert+\vert h\vert)$$

$$= \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( 21 \vert h\vert)$$

$$\underset{\text{(え)}}\leq \frac{1}{10^2\cdot 9^2} \cdot 21 \vert h\vert \leq \vert h\vert \underset{\text{(い)}}{<}\epsilon$$

$\qedsymbol$

問題 14.3 (その他ガチンコ勝負が一問)  

ARRAY(0x8e74070)ARRAY(0x8e74070)