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微分積分学概論AI試験予想問題

(同じ問題がでるわけではありません。実際の問題はこれより 少し難しいでしょう。)

問題 14.1   $ f(x)=x^3+3x^2-5x+7$ とおく。 正の数 $ \epsilon$ と実数 $ a$ が与えられたとするとき、

$\displaystyle \vert x-a\vert<\delta  \implies  \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon
$

をみたす $ \delta>0$ を一つ挙げ、実際にその $ \delta$ が 上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答)

$\displaystyle \delta=\min(1,\frac{\epsilon}{ (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9)})
$

と置けば良い。 実際、このとき、 $ x-a=h$ とおいて、

$\displaystyle \vert h\vert=\vert x-a\vert<\delta
$

とすると

  $\displaystyle \vert h\vert<1,$ (あ)
  $\displaystyle (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9)\vert h\vert<\epsilon.$ (い)

がなりたつ。さらに (あ)から

% latex2html id marker 765
$\displaystyle \vert h\vert \geq \vert h\vert^2 \geq \vert h\vert^3.$ (う)

がなりたつ。 これらに注意して $ \vert f(x)-f(a)\vert$ を下のように評価すれば良い。

  $\displaystyle \vert f(x)-f(a)\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \vert(a+h)^3+3(a+h)^2-5(a+h)+7-(a^3+3 a -5 a +7)\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \vert 3 a ^2 h + 3 a h^2 + h^3 +6 a h + 3 h^2 -5 h\vert$    
% latex2html id marker 773
$\displaystyle \leq$ % latex2html id marker 774
$\displaystyle \vert 3 a ^2 h\vert +\vert 3 a h^2\vert + \vert h^3\vert +\vert 6 a h\vert + \vert 3 h^2\vert + \vert 5 h\vert\qquad$    
% latex2html id marker 775
$\displaystyle \underset{\text{(う)}}{\leq}$ % latex2html id marker 776
$\displaystyle \vert 3 a ^2\vert \vert h\vert +\vert...
...ert h\vert +\vert 6 a\vert \vert h\vert + 3 \vert h\vert + 5 \vert h\vert\qquad$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9 ) \vert h\vert \underset{\text{(い)}}{<}\epsilon$    

% latex2html id marker 835
$ \qedsymbol$

(発展) 上の $ f$ $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ で一様連続ではないことを示しなさい。

問題 14.2   $ f(x)=\frac{1}{x^2}$ とおく。 $ \epsilon>0$ が与えられたとするとき、

$\displaystyle \vert x-10\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(10)\vert<\epsilon
$

をみたす $ \delta>0$ を一つ挙げ、実際にその $ \delta$ が 上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答)

$\displaystyle \delta=\min(1,\epsilon)
$

とおけばよい。 実際、このとき、 $ x-10=h$ とおいて、

$\displaystyle \vert h\vert=\vert x-10\vert<\delta
$

とすると

  $\displaystyle \vert h\vert<1,$ (あ)
  $\displaystyle \vert h\vert<\epsilon.$ (い)

がなりたつ。さらに (あ)から

% latex2html id marker 807
$\displaystyle \vert h\vert \geq \vert h\vert^2 ,$ (う)

% latex2html id marker 809
$\displaystyle \vert(10+h)\vert\underset{\text{三角不等式}}{\geq} 10-\vert h\vert \underset{\text{(あ)}}{ \geq} 9.$ (え)

がなりたつ。これらに注意して $ \vert f(10+h)-f(10)\vert$ を下のように評価すれば良い。

  $\displaystyle \vert f(10+h)-f(10)\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{1}{(10+h)^2}-\frac{1}{10^2}\right\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{10^2-(10+h)^2}{10^2 (10+h)^2}\right\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{-20 h - h^2}{10^2 (10+h)^2}\right\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot \vert 20 h+h^2\vert$    
% latex2html id marker 821
$\displaystyle \leq$ % latex2html id marker 822
$\displaystyle \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( \vert 20 h\vert+\vert h^2\vert) \qquad($三角不等式$\displaystyle )$    
% latex2html id marker 824
$\displaystyle \underset{\text{(う)}}{\leq}$ $\displaystyle \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( 20 \vert h\vert+\vert h\vert)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( 21 \vert h\vert)$    
% latex2html id marker 828
$\displaystyle \underset{\text{(え)}}\leq$ % latex2html id marker 829
$\displaystyle \frac{1}{10^2\cdot 9^2} \cdot 21 \vert h\vert \leq \vert h\vert \underset{\text{(い)}}{<}\epsilon$    

% latex2html id marker 836
$ \qedsymbol$

問題 14.3 (その他ガチンコ勝負が一問)  

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2008-07-14