微分積分学概論 AI 試験解答と解説

問題 15.1. f(x) = x^{100} とおく。正の数 ϵ と実数 a が与えられたとするとき、

|x − a| < δ ⟹ |f(x) − f(a)| < ϵ

をみたす δ > 0 を一つ挙げ、実際にその δ が上記の性質を満たすことを示しなさい。 (二項定理を証明なしに用いても良い。 )

(解答)

δ = min(1, \frac{ϵ}{(|a| + 1)^{100}} )

と置けば良い。実際、このとき、 x − a = h とおいて、

|h| = |x − a| < δ

とすると

|h| < 1, (あ)

(|a| + 1)^{100}|h| < ϵ. (い)

がなりたつ。さらに (あ) から

(う)  |h| ≥ |h|^{j} (j = 1, 2, 3, …)

がなりたつ。これらに注意して |f(x) − f(a)| を下のように評価すれば良い。

|f(x) − f(a)|
=_{二項定理}| ∑_{j=1}^{100} \binom{100}{j}a^{j}h^{100−j}|

≤ ∑_{j=1}^{100} \binom{100}{j}|a^{j}h^{100−j}|

≤_{(う)}|h| ∑_{j=1}^{100} \binom{100}{j}|a|^{j}

≤|h| ∑_{j=0}^{100} \binom{100}{j}|a|^{j}
=|h|(|a| + 1)^{100}
<_{(い)}ϵ
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(解説) ◯数学では二項定理のさい_{n}C_{r} のような組合せの記号より\binom{n}{r} を用いることが多い。その理由は

(1 + x)^{a} = ∑_{j=0}^{∞} \binom{a}{j}x^{j}

のような式を扱う際に明らかになる。 ◯上の解答で、

δ = min(1, \frac{ϵ}{∑_{j=1}^{100} \binom{100}{j}|a|^{j}})

でももちろん構わない。ちょっと泥くさい感じにはなるが。 ◯単に x ↦ x^{100} が連続であるという事実だけならば

(1) x ↦ x は連続である。

(2) x ↦ f(x) が連続で x ↦ g(x) も連続ならば x ↦ f(x)g(x) も連

続である。という事実から説明するほうが易しい。じっさい、 (2) を f(x) = x, g(x) = x の場合に適用して x ↦ x^{2} は連続。同様に x ↦ x^{3} も連続 , … という具合に論を進めれば良い。

問題 15.2. 0 でない実数 a が与えられているとする。このとき、

(1)

|x − a| < δ_{0} ⟹ x ≠ 0

を満足するような正の実数 δ_{0} の例を (a を用いて) 挙げよ。 (2) f(x) = \frac{1}{x} とおく。 ϵ > 0 が与えられたとするとき、

|x − a| < δ ⟹ |f(x) − f(a)| < ϵ

をみたす δ > 0 を一つ挙げ、実際にその δ が上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答) (1)

δ_{0} = \frac{|a|}{2}

とおけば良い。じっさい、このとき |x − a| < δ_{0} なる任意の実数 x に対して、

|x| = |a + (x − a)| ≥ |a| − |x − a| > |a| − δ_{0} = \frac{|a|}{2}

がなりたち、ゆえに x ≠ 0 であるから。 (2)

δ = min(\frac{|a|}{2}, \frac{|a|^{2}ϵ}{2})

とおけばよい。実際、このとき、 x − a = h とおいて、

|h| = |x − a| < δ

とすると

|h| < \frac{|a|^{2}}{2} ϵ, (い)

|h| < \frac{|a|}{2} (ろ)

がなりたつ。これらに注意して |f(a + h) − f(a)| を下のように評価すれば良い。

|f(a + h) − f(a)|
= |\frac{1}{(a + h)} − \frac{1}{a}|
= |\frac{a − (a + h)}{a(a + h)}| = \frac{|h|}{|a||a + h|}
≤\frac{|h|}{|a|(|a| − |h|)}  (三角不等式)
≤_{(ろ)}\frac{2|h|}{|a|^{2}} <_{(い)} ϵ

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問題 15.3. 関数 f を ℝ ∈ x → f(x) = max(3x, 0) ∈ ℝ で定める。このとき f は ℝ で一様連続であることを証明しなさい。

(解答) まず

f(x) = \frac{1}{2}(3x + |3x|)

であることに注意する。

任意の正の実数 ϵ に対して、正の実数 δ を δ = ϵ/3 で定める。このとき、 |x − y| < δ なる任意の x, y ∈ ℝ に対して

|f(x) − f(y)| =\frac{1}{2}|(3x + 3|x|) − (3y + 3|y|)| = \frac{1}{2}|3(x − y) + 3(|x| − |y|)|
≤3/2|x − y| + 3/2||x| − |y||
≤3/2|x − y| + 3/2|x − y| = 3|x − y|
<ϵ.
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