代数学IB要約 No.1

定理 1.1 (環の準同型定理) 環から別の環への準同型写像 $\phi:R\to S$ が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

$\phi$ の像 $\operatorname{Image}\phi$ はの部分環である。
$\phi$ の核 $I=\operatorname{Ker}\phi$ はのイデアルである。
剰余環は $\operatorname{Image}\phi$ と同型である。

後半では、環や体の実例、とくに「一次元の環」について詳しく扱う。

環とは、足し算、引き算と掛け算ができる集合のことである。

部分環とは、部分集合であって環になっているもののことである。

定義 1.1 (環の定義) 集合

が環であるとは、足し算と呼ばれる写像

$\displaystyle +: R\times R \to R$

と掛け算と呼ばれる写像

$\displaystyle \times :R\times R \to R$

が定義されていて次の性質を満たす時に言う。

は足し算に関して可換群をなす。
の積は結合法則を満たす。
の足し算と掛け算は分配法則を満たす。すなわち、任意の $a,b,c \in R$ に対して、次のことが成り立つ。

$% latex2html id marker 1027 $\displaystyle (a+b)\times c=a\times c+b\times c,\quad c\times (a+b)=c\times a+c\times b $$
は積に関して単位元を持つ。すなわち、ある $u\in R$ が存在して、すべての $x\in R$ に対して、かつが成り立つ。

野球の選手を集めて野球チームをつくるように、数を集めて環を作ることができる。環を扱う諸君はさながらチームの監督である。「数」や「多項式」は歴史的な名プレーヤーである。たとえば、普通の和、積については結合法則や分配法則等が自動的になりたっていることが多い。まずは諸君は名チームの幾つかを知っておくべきであろう:

例 1.1 次のものは通常の足し算、掛け算によって環になる。

(重要)整数全体のなす集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
有理数全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
実数全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
複素数全体のなす集合 ${\mathbb{C}}$ .
実数を成分として持つ2次の正方行列全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
(重要)実数上の一変数多項式全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .

証明. (1) については、群論で学んだはずである。(ただし、(2)と同様の証明も可能である。)

(2) の単位元が(見掛け上)二つあったとして、それらをとおくと

$\displaystyle u \underset{(\text{$v$ は単位元})} {=} u v \underset{(\text{$u$ は単位元})}{=} v$

すなわち、両者は実は等しい。 $% latex2html id marker 1073 $ \qedsymbol$$

環の零元と、単位元は、野球の投手と捕手と言ったところか。

ときには、チームの中の一部分が、「特別遠征チーム」として戦わねばならないときもある:

定義 1.2 (部分環の定義)

が単位元をもつ環であるとする。

の部分集合

が

の部分環であるとは、

が次の条件を満たす時にいう。

はの足し算、かけ算を流用することにより環になっている。
はの単位元を元として含む。

例 1.2 次のものは複素数全体のなす環 ${\mathbb{C}}$ の部分環である。

整数全体の集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
有理数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
実数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .

数や行列などの、見知ったものを集めた集合

を作ったとして、それが環になるか、ならぬか、の判定にまず重要なのは、

には必要なメンバーが揃っているか、ということである。なにしろメンバーさえ揃っていれば、名選手のことだからあとは監督がヘボでも最小限のことはしてくれる。

例 1.3 つぎのものは(通常の和、積について)環ではない。

$\{0,1\}$ .
0 以上の整数の集合 $\mathbb{N}$ .
(正のものも負のものもふくめた)すべての奇数の集合 $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
虚部が整数であるような複素数の全体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $% latex2html id marker 1152 $ +\sqrt{-1} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ .

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

問題 1.1 $\frac{1}{2}$ の整数倍をすべて集めた集合

$\displaystyle \frac{1}{2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{\frac{n}{2}; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$

は(通常の和、積について)環ではないことを示しなさい。

問題 1.2 実部と虚部の積が 0 以上であるような複素数の集合

$\displaystyle S$	$% latex2html id marker 1169 $\displaystyle =\{z\in {\mathbb{C}}; \Re(z)\Im(z)\geq 0\}$$
	$% latex2html id marker 1170 $\displaystyle (=\{x+ \sqrt{-1} y; x,y\in$$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$ $% latex2html id marker 1172 $\displaystyle , xy\geq 0\})$$

は(通常の和、積について)環ではないことを示しなさい。