代数学 IB NO.4 要約

今日のテーマ復習今日は復習と、定理や補題などの証明の残していた部分を行う。そ

のあと、次のことについても言及しよう。

例題 4.1. 17770430 を 9 で割った余りを求めよ。

(解答) 整数 n の ℤ/9ℤ におけるクラス (剰余類) を n̄ と書くことにする。一般に、\overline{10} = \overline{1} であることに注意すると、

\overline{10}^{k} = \overline{1} (k ∈ ℤ_{>0})

というという等式が成り立つことがわかる。これを用いると、

\overline{17770430} =\overline{1 × 10^{7} + 7 × 10^{6} + 7 × 10^{5} + 7 × 10^{4}}
\overline{+0 × 10^{3} + 4 × 10^{2} + 3 × 10^{1} + 0}
=\overline{1} × \overline{10}^{7} + \overline{7} × \overline{10}^{6} + \overline{7} × \overline{10}^{5} + \overline{7} × \overline{10}^{4}
+ \overline{0} × \overline{10}^{3} + \overline{4} × \overline{10}^{2} + \overline{3} × \overline{10}^{1} + \overline{0}
=\overline{1} + \overline{7} + \overline{7} + \overline{7} + \overline{0} + \overline{4} + \overline{3} + \overline{0}
= \overline{1 + 7 + 7 + 7 + 0 + 4 + 3 + 0}
= \overline{29} = \overline{2 × 10 + 9} = \overline{2 + 9} = \overline{2}

を得る。 (答え) 2 (注意) 九去算は計算機のない時代に、計算の確かめの目的で使われた。現在でも、占い (バカラ占い) 等で名残を見かけることがある。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) あなたの思い付いた 8 桁以上の数 (簡単すぎないもの) を x とします。このとき、 x × 314159265 + 1234567 を 9 で割ったあまりを (計算機やコンピュータを使わずに) 求めなさい。 x 自身と、求め方も書くこと。なお、検算にコンピュータ等を使用するのは構わないし、むしろ推奨する。

(II) ℤ/100ℤ において、

[x]_{100} ∘ [y]_{100} = [(2x を y で割った余り)]_{100}

と「定義」する。 (ただし、 [x]_{100} は整数 x の ℤ/100ℤ でのクラスとする。 ) これは本当にうまく定義されているだろうか。