代数学 IB NO.8(試験)

• 解答用紙の右上には必ず学生番号を記入すること。

• 持ち込みは何でも可。ただし、次のものを除く。 – 通信機能をもつもの。

– 他人の迷惑になるもの。

(今日は準同型定理の周辺にでてくる話題の確認である。下の解答で準同型定理自身を用いる場面はおそらくないだろう、というか、用いずに解決すること。 )

問題 8.1. 環準同型 φ : ℚ[X] → ℂ が

φ(X) = 10

を満たしたとする。このとき、 (1) φ(X^{2}) を求めよ。 (答のみでよい。 )

(2) φ(8X^{3} + 2X + 1) を求めよ。 (答のみでよい。 )

(3) φ(p) = 356 となる p ∈ ℚ[X] の例を 3 つ挙げなさい。ただし、そのうち一つは 3 次以上の式であるようにすること。 (答えと、簡単な確かめ算のみでよい。 )

(4) Ker(φ) ⊃ (X − 10)ℚ[X] を証明しなさい。

(5) p(X) ∈ ℚ[X] を (X − 10) で割った商を q(X), 余りを r とお

く。 (r は 1 次式でわった余りだから、 0 次式、つまり、定数 (ℚ の

元)) このとき p を q, r を用いて表しなさい。 (説明不要。 )

(6) 任意の p ∈ ℚ[X] にたいして、 φ(p) = p(10) がなりたつことを示しなさい。

(7) 剰余環

ℚ[X]/(X − 10)ℚ[X]

での多項式 p(X) ∈ ℚ[X] のクラスは有理数 p(10) のクラスと等しいことを示しなさい。

用語と注意。

• ℚ とは、有理数の全体のなす集合である。この集合は通常の和、差、積、商について体をなし、有理数体と呼ばれる。

0, 1, 2, 3, …, −1, −2, −3, …, 5/7, −37/12, …

がこれに属する。

• ℚ[X] とは、 ℚ の元を係数に持つ多項式の全体のなす集合であり、これには

X^{2}, 8X^{3} + 2X + 1, X − 10, −7X^{3} + 123/57X^{2} + 3/2X − 1/127

等々が属する。この集合も通常の和、差、積について環をなし、 ℚ 上の一変数多項式環と呼ぶ。

• 環 A から環 B への写像 φ は、和と積を保ち、単位元を単位元に写すとき環準同型と呼ばれる。

(★) A, B がともに有理数のなす環を部分環として含むなら、 ; 任意の環準同型 φ : A → B について φ(r) = r が任意の ; 有理数 r に対して成り立つ。

ということを講義で説明したので、その部分は今回は証明無しに使ってもよい。 (時間に余裕があれば証明も書くともっとよいが...) ただし、どこで使ったかがわかるような答案にすること。

代数学 IB NO.8

解答

(1) φ(X^{2}) = φ(X · X) = φ(X) · φ(X) = 10 · 10 = 100.

(2) φ(8X^{3} +2X +1) = 8φ(X)^{3} +2φ(X)+1 = 8·10^{3} +2·10+1 = 8021. (3)

• 356 (定数多項式)
• 3X^{2} + 5X + 6
• \frac{1}{10}(3X^{3} + 560)
• \frac{356}{2008}(2X^{3} + 8)

などなど。

(4) (X − 10)ℚ[X] から任意の元 a をとってくると、それは

a(X) = (X − 10)b(X) b ∈ ℚ[X]

という形をしている。したがって、

φ(a) = φ(X − 10) · φ(b) = (φ(X) − 10) · φ(b) = 0 · φ(b) = 0.

(5)

p(X) = (X − 10)q(X) + r

(6)

φ(p) = φ((X − 10))φ(q) + φ(r) = φ(r) =^{(★)} r.

他方で、

p(10) = (10 − 10)q(10) + r = r.

ゆえに、 φ(p) = p(10).

もしくは、

p(X) = a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + a_{n−2}X^{n−2} + ⋯ + a_{2}X^{2} + a_{1}X + a_{0}

とかいて、

φ(p)

=φ(a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + a_{n−2}X^{n−2} + ⋯ + a_{2}X^{2} + a_{1}X + a_{0})
=φ(a_{n})φ(X)^{n} + φ(a_{n−1})φ(X)^{n−1} + φ(a_{n−2})φ(X)^{n−2} + …

+ φ(a_{2})φ(X)^{2} + φ(a_{1})φ(X) + φ(a_{0})

=^{(★)}a_{n} · 10^{n} + a_{n−1} · 10^{n−1} + a_{n−2} · 10^{n−2} + ⋯ + a_{2} · 10^{2} + a_{1} · 10 + a_{0}
=p(10)

としてもよい。

(7) (6) の前半に述べたように、

p(X) − p(10) = (X − 10)q(X)

(記号は (6) と同じものを使った。 ) だから、 p(X) と p(10) の ℚ[X]/(X− 10)ℚ[X] でのクラスは等しい。