next up previous
Next: About this document ...

    

代数学 IB No.8(試験)

(今日は準同型定理の周辺にでてくる話題の確認である。 下の解答で準同型定理自身を用いる場面はおそらくないだろう、というか、 用いずに解決すること。)

問題 8.1   環準同型 $ \varphi:$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X] \to {\mathbb{C}}$

$\displaystyle \varphi(X)=10
$

を満たしたとする。このとき、
  1. $ \varphi(X^2)$ を求めよ。(答のみでよい。)
  2. $ \varphi(8 X^3+2 X + 1)$ を求めよ。(答のみでよい。)
  3. $ \varphi(p)=356$ となる $ p\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$ の例を $ 3$ つ挙げなさい。 ただし、そのうち一つは 3次以上の式であるようにすること。 (答えと、簡単な確かめ算のみでよい。)
  4. $ \operatorname{Ker}(\varphi)\supset (X-10)$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$ を証明しなさい。
  5. $ p(X)\in$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$$ (X-10)$ で割った商を % latex2html id marker 955
$ q(X)$ , 余りを $ r$ とおく。 ($ r$$ 1$ 次式でわった余りだから、 0 次式、つまり、定数( $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の元)) このとき $ p$% latex2html id marker 968
$ q,r$ を用いて表しなさい。(説明不要。)
  6. 任意の $ p\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$ にたいして、 $ \varphi(p)=p(10)$ がなりたつことを示しなさい。
  7. 剰余環

       $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle [X]/(X-10)$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle [X]
$

    での多項式 $ p(X)\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$ のクラスは有理数 $ p(10)$ のクラスと等しいこと を示しなさい。



用語と注意。

解答

(1) $ \varphi(X^2)=\varphi(X\cdot X)=\varphi(X)\cdot \varphi(X)=10\cdot 10=100$ .

(2) $ \varphi(8 X^3+2 X+1)= 8 \varphi(X)^3+ 2 \varphi(X) +1=8 \cdot 10^3 +2 \cdot 10+1=8021.$

(3)

などなど。

(4) $ (X-10)$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$ から任意の元 $ a$ をとってくると、それは

% latex2html id marker 1025
$\displaystyle a(X)=(X-10) b(X) \qquad b\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle [X]
$

という形をしている。 したがって、

$\displaystyle \varphi(a)=\varphi(X-10) \cdot\varphi(b)=(\varphi(X)-10)\cdot\varphi(b)
=0 \cdot \varphi(b)=0.
$

(5)

% latex2html id marker 1031
$\displaystyle p(X)=(X-10)q(X)+r
$

(6)

% latex2html id marker 1033
$\displaystyle \varphi(p)=\varphi((X-10))\varphi(q)+\varphi(r)
=\varphi(r)
\overset{\text{(★)}}{=}
r.
$

他方で、

% latex2html id marker 1035
$\displaystyle p(10)=(10-10)q(10)+r=r.
$

ゆえに、 $ \varphi(p)=p(10)$ .

もしくは、

$\displaystyle p(X)=a_n X^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\dots+ a_2 X^2+a_1 X+ a_0
$

とかいて、

  $\displaystyle \varphi(p)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \varphi(a_n X^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\dots+ a_2 X^2+a_1 X+ a_0)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \varphi(a_n) \varphi(X)^n +\varphi(a_{n-1})\varphi(X)^{n-1} +\varphi(a_{n-2})\varphi(X)^{n-2}+\dots$    
  $\displaystyle + \varphi(a_2) \varphi(X)^2+\varphi(a_1) \varphi(X)+ \varphi(a_0)$    
$\displaystyle \overset{\text{(★)}}{=}$ $\displaystyle a_n\cdot 10^n+a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2}+\dots + a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10+ a_0$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle p(10)$    

としてもよい。

(7) (6)の前半に述べたように、

% latex2html id marker 1051
$\displaystyle p(X)-p(10)=(X-10)q(X)
$

(記号は (6) と同じものを使った。) だから、 $ p(X)$$ p(10)$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]/(X-10)$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$ でのクラスは等しい。
next up previous
Next: About this document ...
2008-12-11