代数学 IB NO.11 要約

今日のテーマ《素元分解環》 (2)

今回は前回残した証明の残りを行ったあと、多項式環の素元分解について論ずる。

定義 11.1. 環 R と a, b ∈ R とにたいして、

(1) a ∈ bR のとき、 a は b の倍元であるといい、 b|a で書き表す。 b を主語として、 b は a の約元であるともいう。

(2) ある u ∈ R^{×} があって、 a = bu をみたすとき、 a と b とは同伴であるという。

命題 11.1. 整域 R の元 a, b にたいして、 (1) (a) ⊂ (b) ⇔ b|a.

(2) a と b が同伴 ⇔ (a) = (b).

命題 11.2. R が素元分解環ならば、 R \ {0} の各元は

up_{1}p_{2} … p_{l} (l ∈ ℕ, u ∈ R^{×}, p_{1}, …, p_{l} は R の素元)

と書くことができるが、この書き方は同伴を除いて一意的である。すなわち、

up_{1}p_{2} … p_{l} = vq_{1}q_{2} … q_{m}
(l, m ∈ ℕ, u, v ∈ R^{×}, p_{1}, …, p_{l}, q_{1}, …, q_{m} は R の素元)

ならば、 l = m であって、なおかつある σ ∈ 𝔖_{l} があって各 j にたいして p_{j} と q_{σ(j)} はそれぞれ同伴になる。

定理 11.3. R が素元分解環ならば R[X] も素元分解環である。

系 11.4. 素元分解環 R 上の n 変数多項式環 R[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] はまた素元分解環である。

補題 11.1. 整域 R が与えられているとき、集合

S_{R} = R × (R \ {0}) = {(a, b); a ∈ R, b ∈ R, b ≠ 0}

に同値関係を

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ad = bc

で定義する。 (a, b) ∈ S_{R} のこの同値関係によるクラスを a/b とかく。 Q(R) = S_{R}/ ∼ に和、積を

a/b + c/d = (ad + bc)/bd
a/b · c/d = (ac)/(bd)

で定義すると、これらはうまく定義されて, Q(R) は環になる。

定義 11.2. 整域 R にたいして上のように作られる環 Q(R) を R の商体と呼ぶ。

定理 11.3 の証明には、 Q(R)[X] の素因数分解を利用して R[X] の素因数分解をすることを考える。

次の概念を用いる。

定義 11.3. 素元分解環 R 上の一変数多項式 f が原始的であるとは、 f の係数を全て集めたものの最大公約数が 1 であるときにいう。

UFD での素元分解の存在から、次のことが言える。

補題 11.2. 任意の f ∈ R[X] は

f = af_{1} (a ∈ R, f_{1} ∈ R[X] は原始的)

と書くことができる。 a は同伴を除いて一意的である。補題 11.3 (ガウス). 素元分解環 R が与えられているとし、 K = Q(R) とおく。このとき

(1) R[X] の元 f, g と R の素元 p とにたいして、

fg ∈ pR[X] ⇔ f ∈ pR[X] or g ∈ pR[X]

(2) R[X] の原始的な元の積は必ず原始的である。

(3) R[X] の原始的な元 f について、次のことは同値である。 (a) f は R[X] の素元である。

(b) f は R[X] の既約元である。

(c) f は K[X] の既約元である。 (d) f は K[X] の素元である。

証明. (3) (a) ⟹ (b) は補題 10.3 の 1. から従う。 K[X] はユークリッド整域であるから、一意分解環。ゆえに、 (c) ⇔ (d) である。

(b) ⟹ (c): f は R[X] の原始的既約元であるとする。 f がもし K[X] で既約でなければ、

c_{1}f = c_{2}g_{1}h_{1}

(c_{1}, c_{2} ∈ R\{0}, g_{1}, h_{1} ∈ R[X] は原始的かつ 1 次以上) なる c_{1}, c_{2}, g_{1}, h_{1} が存在することが分かる。 g_{1}h_{1} は (2) により原始的であるから。 c_{1} と c_{2} は同伴。そのことから、

f = ug_{1}h_{1}(∃u ∈ R^{×})

がわかる。これは f が R[X] の既約元であることに反する。

(d) ⟹ (a): f は R[X] の原始的な元で、 K[X] の素元であるとする。 gh ∈ fR[X] なる g, h ∈ R[X] があるとすると、 K[X] のなかで考えることにより

g ∈ fK[X] or h ∈ fK[X]

がわかる。どちらでもおなじことであるから g ∈ fK[X] としよう。一般性を失うことなく、 g は原始的であると仮定してよい。 g ∈ K[X] から

b_{0}g = b_{1}fm

なる b_{0}, b_{1} ∈ R \ {0} と、原始的な元 m ∈ R[X] の存在が分かる。再び (2) のより、 b_{0} と b_{1} とは同伴であることを知る。したがって、 g ∈ fR[X]. □

問題 11.1. 整域 R にたいして、 Q(R) の和がうまく定義されることを実際に証明せよ。

問題 11.2. 可換環 R が与えられているとする。このとき、任意の p ∈ R にたいして

R[X]/pR[X] ≅ (R/pR)[X]

が成り立つことを示しなさい。