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代数学 IB No.11要約

\fbox{今日のテーマ} 《素元分解環》(2)

今回は前回残した証明の残りを行ったあと、 多項式環の素元分解について論ずる。

定義 11.1   環 $ R$$ a,b\in R$ とにたいして、
  1. $ a \in b R$ のとき、 $ a$$ b$ の倍元であるといい、 $ b\vert a$ で書き表す。$ b$ を主語として、$ b$$ a$ の約元であるともいう。
  2. ある $ u \in R^\times $ があって、$ a=bu$ をみたすとき、$ a$$ b$ とは 同伴であるという。

命題 11.1   整域 $ R$ の元 $ a,b$ にたいして、
  1. $ (a) \subset (b) {\Leftrightarrow} b\vert a$ .
  2. $ a$$ b$ が同伴 $ {\Leftrightarrow}$ $ (a)=(b)$ .

命題 11.2   $ R$ が素元分解環ならば、 $ R\setminus \{0\}$ の各元は

% latex2html id marker 1020
$\displaystyle u p_1 p_2 \dots p_l \qquad(l \in \mathbb{N}, u\in R^\times , p_1,\dots,p_l$    は $R$ の素元$\displaystyle )
$

と書くことができるが、この書き方は同伴を除いて一意的である。 すなわち、

  % latex2html id marker 1022
$\displaystyle u p_1 p_2 \dots p_l =v q_1q_2 \dots q_m$    
  % latex2html id marker 1023
$\displaystyle (l,m \in \mathbb{N}, u,v\in R^\times , p_1,\dots,p_l,q_1,\dots,q_m$    は $ R$ の素元$\displaystyle )
$    

ならば、$ l=m$ であって、なおかつある $ \sigma\in \mathfrak{S}_l$ があって 各 $ j$ にたいして $ p_j $ % latex2html id marker 1036
$ q_{\sigma(j)}$ はそれぞれ同伴になる。

定理 11.3   $ R$ が素元分解環ならば $ R[X]$ も素元分解環である。

系 11.4   素元分解環 $ R$ 上の $ n$ 変数多項式環 $ R[X_1,X_2,\dots, X_n]$ は また素元分解環である。

補題 11.1   整域 $ R$ が与えられているとき、集合

% latex2html id marker 1065
$\displaystyle S_R=R\times (R\setminus\{0\})=\{(a,b); a\in R, b\in R, b\neq 0\}
$

に同値関係を

$\displaystyle (a,b)\sim (c,d) {\Leftrightarrow}a d =b c
$

で定義する。 $ (a,b)\in S_R$ のこの同値関係によるクラスを $ a/b$ とかく。 $ Q(R)=S_R/\sim$ に和、積を

$\displaystyle a/b+ c/d=(ad+bc)/bd
$

$\displaystyle a/b\cdot c/d=(ac)/(bd)
$

で定義すると、これらはうまく定義されて, $ Q(R)$ は環になる。

定義 11.2   整域 $ R$ にたいして上のように作られる環 $ Q(R)$$ R$ の商体と呼ぶ。

定理 11.3 の証明には、 $ Q(R)[X]$ の素因数分解を利用して $ R[X]$ の素因数分解をすることを考える。

次の概念を用いる。

定義 11.3   素元分解環 $ R$ 上の一変数多項式 $ f$原始的であるとは、 $ f$ の係数を全て集めたものの最大公約数が $ 1$ であるときにいう。

UFD での素元分解の存在から、次のことが言える。

補題 11.2   任意の $ f\in R[X]$

% latex2html id marker 1116
$\displaystyle f=a f_1 \qquad (a \in R,$   $f_1&isin#in;R[X]$ は原始的$\displaystyle )
$

と書くことができる。$ a$ は同伴を除いて一意的である。

補題 11.3 (ガウス)   素元分解環 $ R$ が与えられているとし、$ K=Q(R)$ とおく。このとき
  1. $ R[X]$ の元 $ f,g$$ R$ の素元 $ p$ とにたいして、

    $\displaystyle fg\in p R[X]  {\Leftrightarrow} f \in p R[X]$    or $\displaystyle g \in p R[X]
$

  2. $ R[X]$ の原始的な元の積は必ず原始的である。
  3. $ R[X]$ の原始的な元 $ f$ について、 次のことは同値である。
    1. $ f$$ R[X]$ の素元である。
    2. $ f$$ R[X]$ の既約元である。
    3. $ f$$ K[X]$ の既約元である。
    4. $ f$$ K[X]$ の素元である。

証明. (3) (a) $ \implies$ (b) は補題10.3の 1. から従う。 $ K[X]$ はユークリッド整域であるから、一意分解環。ゆえに、 (c) $ {\Leftrightarrow}$ (d) である。

(b) $ \implies$ (c): $ f$$ R[X]$ の原始的既約元であるとする。 $ f$ がもし $ K[X]$ で既約でなければ、

$\displaystyle c_1 f=c_2 g_1h_1
$

( $ c_1,c_2\in R\setminus \{0\}$ , $ g_1,h_1\in R[X]$ は原始的かつ1次以上) なる $ c_1,c_2,g_1,h_1$ が存在することが分かる。 $ g_1 h_1$ は(2)により原始的であるから。$ c_1$$ c_2$ は同伴。 そのことから、

$\displaystyle f=u g_1 h _1 (\exists u \in R^\times)
$

がわかる。これは $ f$$ R[X]$ の既約元であることに反する。

(d)$ \implies$ (a): $ f$$ R[X]$ の原始的な元で、$ K[X]$ の素元であるとする。 $ gh \in f R[X]$ なる $ g,h \in R[X]$ があるとすると、$ K[X]$ のなかで 考えることにより

$\displaystyle g \in f K[X]$    or $\displaystyle h \in f K[X]
$

がわかる。どちらでもおなじことであるから $ g \in f K[X]$ としよう。 一般性を失うことなく、$ g$ は原始的であると仮定してよい。 $ g\in K[X]$ から

$\displaystyle b_0 g =b_1 f m
$

なる $ b_0,b_1\in R\setminus \{0\}$ と、 原始的な元 $ m\in R[X]$ の存在が分かる。 再び (2)のより、$ b_0$$ b_1$ とは同伴であることを知る。したがって、 $ g \in f R[X]$ . % latex2html id marker 1164
$ \qedsymbol$

問題 11.1   整域 $ R$ にたいして、$ Q(R)$ の和がうまく定義されることを実際に証明せよ。

問題 11.2   可換環 $ R$ が与えられているとする。このとき、任意の $ p \in R$ にたいして

$\displaystyle R[X]/p R[X] \cong (R/pR)[X]
$

が成り立つことを示しなさい。


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2008-12-16