代数学 IB No.12要約

《素元分解環》(3)

命題 12.1   素元分解環 $R$ 上の一変数多項式

$$f(X)=c_d X^d+c_{d-1}X^{d-1}+\dots +c_1 X +c_0$$

について、

1. $g\in R[X]$ が $R[X]$ のなかで $f$ の約元であるならば、 $g$ の定数項は $f$ の定数項 $c_0$ の約数であり、 $g$ の最高次の係数は $f$ の最高次の係数 $c_d$ の約数である。
2. $f$ の根で、$K=Q(R)$ に含まれるものは必ず
   $$a/b \quad (a,b\in R,\ a\vert c_d,\ b\vert c_0)$$
   なる形をしている。

例 12.1   $f(X)=15 X^3 +59 X^2+ 23 X -77$ とおく。$f$ を ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の元として 素元分解したい。

1. $f$ の根で $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(=Q({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}))$ に属するものは
   $$a/b \quad (a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ a\vert 15,\ b\vert 77)$$
   なる形をしている。($32$ 通りの可能性がある。)
2. そのうち、本当に根であるものは $c=-7/3$ の一つのみである。
3. 因数定理により、$f$ は $X-c$ を (環 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ のなかで)因数に持つ。
4. 実際に割ってみると
   $$f(X)=(X+7/3)(15 X^2+24 X -33)$$

5. ポイントは、上の因数分解で全体を定数倍だけ調節することにより、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の元としての因数分解を得られる所にある。
   $$f(X)=(3X+7)(5 X^2+8 X -11)$$

6. $g(X)=5 X^2 +8 X-11$ は有理数の根を持たない。
7. 二次式をが可約であれば一次のの因子をもつはずである。 ゆえに $g$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約である。
8. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約な ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の原始的多項式であるから、$g$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上既約である。 すなわち $f(X)=(3X+7)g(X)$ が $f$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の元としての 素元分解である。

問題 12.1   $2$ 以上の整数 $n$ にたいして、

$$f_n(X)=X^n+ 7X +7$$

と定義する。このとき $f_n(X)$ が ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の中で可約である(=既約でない)ような $n$ の値を全て求めなさい。