代数学 I NO.13 要約

今日のテーマ《環の直積分解・１０５減算》一つの環を環の直積に分解すると楽なことがある。環を直積分解するときには、対応する射影を求めるのがポイントになる。

定義 13.1. R_{1}, R_{2} は環であるとする。このとき、 R_{1}, R_{2} の環としての直積とは、デカルト積集合 R_{1} × R_{2} の上に、次のような演算を定義したものである。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) × (c, d) = (ac, bd)

R_{1} と R_{2} の環としての直積を、普通 R_{1} × R_{2} と書く。

補題 13.1. R_{1}, R_{2} は環であるとする。このとき、 (1) R_{1} × R_{2} は環になる。

(2) R_{1}, R_{2} の単位元がそれぞれ 1_{R_{1}}, 1_{R_{2}} とすると、 R_{1} × R_{2} の単位元は (1_{R_{1}}, 1_{R_{2}}) である。

(3) R_{1}, R_{2} がともに可換ならば、 R_{1} × R_{2} も可換である。

環の直積分解においては、二つの基本的な元が重要な役割を果たす。

補題 13.2. (1) R_{1}, R_{2} は単位元をもつ可換環であるとする。このとき R_{1} × R_{2} の元 e_{1}, e_{2} を、 e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1) によって定めると、次のことが成り立つ。

(★)  e_{1}^{2} = e_{1}, e_{2}^{2} = e_{2}, e_{1} + e_{2} = 1, e_{1}e_{2} = 0

(2) R は単位元をもつ可換環であるとする。もし R の元 e_{1}, e_{2} で、 (★) を満たすものが存在すれば、 R は R/(e_{1}) × R/(e_{2}) と同型になる。

上の補題により、環を直積分解したいときには、 (★) を満たす元 e_{1}, e_{2} を探せばいいことがわかる。 e_{1}, e_{2} のことを (直積分解に対応する) 射影と呼ぶ。

命題 13.1. 環 R の元 a, b, x, y が

ax + by = 1

を満たすとき、

R/(ab) ≅ R/(a) × R/(b)

で、対応する射影は R/(ab) における by, ax のクラスである。

例 13.1 (環の直積分解の具体例).

(1) ℤ/12ℤ は ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ と同型である。

(2) ℂ[X]/(X^{2} − X) は ℂ[X]/(X) × ℂ[X]/(X − 1) と同型である。

※三つの環 R_{1}, R_{2}, R_{3} の直積も二つの場合と同様に定義される。環 (R_{1} × R_{2}) × R_{3} は R_{1} × R_{2} × R_{3} と同型である。４つ以上でも同様。

古典的な 105 減算は

ℤ/105ℤ ≅ ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ

をもとにしている。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 1000 で割ると 17 余り、 1003 で割ると 34 余るような整数 n の例を一つ求めよ (途中の計算はある程度省略してよい。ただし求めた方法は書いておくこと。 )

(II) X^{3} − 1 で割ると X + 1 余り、 X^{2} + 2 で割ると X 余るような ℂ[X] の元 p(X) の例を一つ求めよ、。