代数学 I NO.14 要約

問題 14.1. a = 7046, b = 1781 とおく。環準同型

φ : ℤ → ℤ/aℤ × ℤ/bℤ

について、 (1) そのようなものがあったとして、 φ(n) を求めなさい。

(2) 上の条件を満たす環準同型 φ が存在することを示しなさい。 (3) d = gcd(a, b) (a, b の最大公約数) を求めなさい。

(4) Ker(φ) を求めなさい。

(5) φ(n) = ([5d]_{a}, [6d]_{b}) を満たす n を全て求めなさい。

関連する計算

7046/1781 = 3.95... ≈ 4
7046 − 1781 × 4 = −78
1781/78 = 22.83... ≈ 23
1781 − 78 × 23 = −13
78 = 13 × 6

(\begin{matrix}7046 \\ 1781 \end{matrix}) = (\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1781 \\ −78 \end{matrix})
= (\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}−23 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}−78 \\ −13 \end{matrix})
= (\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}−23 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}6 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}−13 \\ 0 \end{matrix})

このことから、

(\begin{matrix}−13 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −6 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 23 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −4 \end{matrix}) (\begin{matrix}7046 \\ 1781 \end{matrix})
= (\begin{matrix}23 & −91 \\ −137 & 542 \end{matrix}) (\begin{matrix}7046 \\ 1781 \end{matrix})

が得られる。第 1 列から

(あ)  23 × 7046 + (−91) × 1781 = −13

が得られる。

(い)  7046 = 13 × 542, 1781 = 13 × 137

であることから、 13 は a, b の公約数であることがわかる。他方で、 (あ) から、 7046 と 1781 は必然的に 13 の約数であることもわかるから、 13 が 7046 と 1781 の最大公約数は 13 である。