代数学 I No.14要約

問題 14.1   $a=7046, b=1781$ とおく。 環準同型

$$\varphi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/a{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/b{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

について、

1. そのようなものがあったとして、 $\varphi(n)$ を求めなさい。
2. 上の条件を満たす環準同型 $\varphi$ が存在することを示しなさい。
3. $d=\gcd(a,b)$ ($a,b$ の最大公約数)を求めなさい。
4. $\operatorname{Ker}(\varphi)$ を求めなさい。
5. $\varphi(n)=([5 d]_a, [6 d]_b)$ を満たす $n$ を 全て求めなさい。

関連する計算

$$7046/1781=3.95...\approx 4$$

$$7046-1781\times 4=-78$$

$$1781 /78=22.83...\approx 23$$

$$1781 -78 \times 23 =-13$$

$$78=13\times 6$$

$$\begin{pmatrix}7046 \\ 1781 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1781\\ -78 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}4 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-23& 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-78\\ -13 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}4 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-23& 1... ...\begin{pmatrix}6& 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-13\\ 0 \end{pmatrix}$$

このことから、

$$\begin{pmatrix}-13\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& 1 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0& 1 \... ...{pmatrix}0& 1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}7046 \\ 1781 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}23 & -91 \\ -137 & 542 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}7046 \\ 1781 \end{pmatrix}$$

が得られる。 第1列から

$$23 \times 7046 +(-91)\times 1781=-13$$ (あ)

が得られる。

$$7046=13 \times 542 , \quad 1781=13 \times 137$$ (い)

であることから、$13$ は $a,b$ の公約数であることがわかる。 他方で、(あ)から、$7046$ と $1781$ は必然的に $13$ の約数であることも わかるから、$13$ が $7046$ と $1781$ の最大公約数は $13$ である。