代数学 I NO.15 要約

問題 15.1. a = 15689, b = 8555 とおく。環準同型

φ : ℤ → ℤ/aℤ × ℤ/bℤ

を φ(n) = ([n]_{a}, [n]_{b}) で定義する。このとき、 (1) d = gcd(a, b) (a, b の最大公約数) を求めなさい。

(2) Ker(φ) を求めなさい。

(3) φ(n_{1}) = ([0]_{a}, [d]_{b}) を満たす n_{1} をすべて求めなさい。

(4) φ(n_{2}) = ([25]_{a}, [228]_{b}) を満たす n_{2} をすべて求めなさい。 (ヒント： φ(25) = ([25]_{a}, [25]_{b}) だから n_{2} − 25 の値を求めることをまず考えてみよ)

注意:

• 持ち込みはなんでも可である。但し通信機能を持つものや、他人の迷惑になるものを除く。

• 解答用紙右上には忘れずに学籍番号と名前を書くこと。

• 今回は計算間違いは大幅に (ただの間違いと同じ程度に) 減点する。講義中に述べたように、間違いは自分で容易にチェックできるからである。

• いずれの問題でも、十分な説明 (理由) が書いていない解答につ

いてはたとえ正解であってもほとんど評価しない。 (次の問題は採点しないが、余力のある人は考えてみると良い。 )

(5) 整数 x, y が ([x]_{a}, [y]_{b}) ∈ Image(φ) を満たすための条件は、 x − y ∈ dℤ であることを示しなさい。

代数学 I NO.15

(解答)

(1) 次の 3 つの式に注意する。 (Euclid-1) 6a − 11b = 29. (Euclid-2) a = 541 × 29. (Euclid-3) b = 295 × 29.

(Euclid-2) と (Euclid-3) により、 29 は a, b の公約数であることがわかる。 -(A)

他方、 a, b の公約数 d にたいし、

a = a′d, b = b′d (∃a′∃b′ ∈ ℤ)

と書いてみると、 (Euclid-1) に代入して、

29 = 6a − 11b = (6a′ − 11b′)d

が得られる。すなわち d は 29 の約数であることがわかる。 -(B)

(A),(B) により、 29 は a, b の最大公約数であることがわかる。 (2)

Ker(φ) ={n ∈ ℤ; φ(n) = 0}
={n ∈ ℤ; ([n]_{a}, [n]_{b}) = (0, 0)}
={n ∈ ℤ; n ∈ aℤ かつ n ∈ bℤ}
=aℤ ∩ bℤ
=(a, b の公倍数の全体)
=(a, b の最小公倍数の倍数の全体)
=541 · 295 · 29ℤ
(=4628255ℤ).

(3)

φ(6a) = ([0]_{a}, [29]_{b})

であるから、 6a はそのような n_{1} の一つである。その他は Ker(φ) の分だけの差があるものばかりだから、

6a + Ker(φ) = 94134 + 4628255ℤ

の元がそのような n_{1} の全てである。

(4) (ヒントにあるように、 φ(25) = ([25]_{a}, [25]_{b}) だから、題意のような n_{1} を求めるには、

φ(n_{1} − 25) = ([0]_{a}, [203]_{b})

を解けば良い。 )

7 · 6a + 25(= 658963)

はそのような n_{2} の一つであることがすぐにわかるから、解の全体の集合は

658963 + 4628255ℤ

である。