代数学演習 IB 問題 NO.3

イデアルの定義編

定義 3.1. 環 R の部分集合が R のイデアルであるとは、 (1) I は (R, +) の部分加群である。

(2) r ∈ R, a ∈ I ⟹ ra ∈ I, ar ∈ I の二条件が成り立つときに言います。

問題 3.1. 環 R の部分集合 {0} は R のイデアルであることを示しなさい。 (通常 {0} を単に 0 であらわします。 )

問題 3.2. (各 1) 次の各 R, I の組合せにおいて、「I は環 R のイデアルである」といえるだろうか？理由をあげて答えなさい。

(1) R = ℕ, I = 0.

(2) R = ℤ, I = 2ℤ + 1.

(3) R = ℤ, I = ℕ.

(4) R = ℝ, I = 2ℤ.

(5) R = ℂ, I = ℝ.

(6) R = ℂ[X], I = ℂ.

(7) R = ℤ, I =(素数の全体).

定義 3.2. 環 R の部分集合 A, B にたいして、 (1) A + B = {a + b; a ∈ A, b ∈ B}.

(2) A ·_{(set)} B = {ab; a ∈ A, b ∈ B}.

と定義します。他に紛れがない時には、 A ·_{(set)} B = {ab; a ∈ A, b ∈ B}

のことを単に AB とも書きます。

問題 3.3. I, J が環 R のイデアルならば、 I ∩ J も R のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.4. I, J が環 R のイデアルならば、 I ∪ J も R のイデアルであるといえるだろうか。

問題 3.5. I, J が環 R のイデアルならば、

I + J = {a + b; a ∈ I, b ∈ J}

も R のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.6. ℤ[X] の部分集合

I = {f ∈ ℤ[X]; f の定数項は 2 の倍数}

は ℤ[X] のイデアルだろうか？

問題 3.7. ℤ[X] の部分集合

J = {f ∈ ℤ[X]; f(0) ∈ 3ℤ and f′(0) ∈ 3ℤ}

は ℤ[X] のイデアルだろうか？

問題 3.8. I, J が可換環 R のイデアルであるにもかかわらず

I ·_{(set)} J = {ab; a ∈ I, b ∈ J}

(I と J の R の部分集合としての積) が R のイデアルにならないような例を具体的にあげなさい。問題 3.9. I, J が可換環 R のイデアルならば、

IJ = {∑_{i} a_{i}b_{i}(有限和); a_{i} ∈ I, b_{i} ∈ J} (注意)

も R のイデアルとなることを示しなさい。 (IJ のことを I と J のイデアルとしての積と呼ぶ。

問題 3.10. 可換環 R の巾零元全体

P = {x ∈ R; x^{n} = 0(∃n ∈ ℤ_{>0})}

は R のイデアルとなることを示しなさい。

定義 3.3. 単位元を持つ可換環 R 上の一変数多項式とは、

a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + a_{n−2}X^{n−2} + ⋯ + a_{1}X + a_{0} (a_{n}, …, a_{0} ∈ R)

のように表されるもののことです。 R 上の一変数多項式の全体は環をなします。これを R 上の一変数多項式環と言って、 R[X] であらわします。以下面倒なので《一変数多項式》が出てくる問題では、 R は単位元を持つ可換環であると仮定していることにします。

問題 3.11. (単位元を持つ可換) 環 R 上の一変数多項式 f(X) と R の元 a について、 f(a) = 0 ならば、

f(X) = (X − a)g(X) g(X) ∈ R[X]

とあらわせることを示しなさい。

定義 3.4. 環 R の元 a は、

ab = 0

なる b(≠ 0) ∈ R が存在するとき、左零因子と呼ばれます。右零因子も同様に定義されます。可換環では、左右の区別がいらないので、単に零因子と呼びます。零因子が 0 しかない可換環を整域と呼びます。

問題 3.12. 整域 R 上の一変数多項式 f(X) は、 R に高々 d 個しか根を持たないことを示しなさい。

問題 3.13. 可換環 R 上の一変数多項式 f(X) の係数のうちに非零因子があれば、 f(X) は R[X] の非零因子となることを示しなさい。

問題 3.14. 有理数体 ℚ 上の二変数多項式環 ℚ[X, Y] のイデアル I が X + Y (X + 1), Y, X^{2} を元として含む時、 I は X, Y も元として含むことを示しなさい。

問題 3.15. (各 1) 有理数体 ℚ 上の二変数多項式環 ℚ[X, Y] のイデアル J が X + Y, X + Y^{2}, X + Y^{3}, X + Y^{4}, X + Y^{5} を元として含む時、

(1) J は X + Y, Y^{2} − Y を元として含むことを示しなさい。

(2) X + Y, Y^{2} − Y を元として含むような ℚ[X, Y] のイデアルは必ず J を部分集合として含むことを示しなさい。