代数学演習 I 問題 NO.5

イデアルの例とイデアルによる剰余環 (2), 行列算編

問題 5.1. (各 1) I を ℤ のイデアルとします。この時、

(1) a, b が I の元で、 a が正の数ならば、 b を a で割った余り r も I の元であることを示しなさい。

(2) I = 0 のときを除くと、 I の元の中で正で最小のものが存在します。これを a_{0} とおくと、 I の任意の元は a_{0} で割り切れることを示しなさい。

(3) I = a_{0}ℤ であることを示しなさい。

問題 5.2. (各 1) I を ℂ[X] のイデアルとします。この時、

(1) f, g が I の元で、 f が 0 でないならば、 g を f で割った余り r も I の元であることを示しなさい。

(2) I = 0 のときを除くと、 I の元の中で次数が最小のものが存在します。これを f_{0} とおくと、 I の任意の元は f_{0} で割り切れることを示しなさい。

(3) I = f_{0}ℂ[X] であることを示しなさい。

問題 5.3. (各 1)

(1) (ℤ, +) の部分群は全て ℤ のイデアルであることを示しなさい。 (2) (ℤ, +) の部分群をすべて求めなさい。

(3) (ℂ[X], +) の部分群で、 ℂ[X] のイデアルではないものの例を挙げなさい。

問題 5.4. a を複素数とします。このとき、

(1) 一変数多項式 f(X) を X − a で割ったときの余りは f(a) であることを示しなさい。

(2) ℂ[X]/(X − a)ℂ[X] のすべての元は、ある複素数 c (の同値類) と等しいことを示しなさい。

環 R に対して、その元を成分にもつ行列を考えることができ、通常の意味の和、差、積が (サイズがあっているという条件のもとで) 定義されて、一年生で習う線形代数のかなりの部分がそのまま正しい。

M_{n}(R) = {R の元を成分にもつ n × n 行列}

とおくと、これは (可換ではない) 環である。その単位元は 1_{n} (n 次の単位行列).

問題 5.5. ℤ/15ℤ の元を成分にもつ行列の積

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

を計算し、できるだけ簡単な形、すなわち各成分の絶対値が 14 以下の整数によって表されている形になるように直しなさい。

問題 5.6. ℤ/15ℤ の元を要素にもつ行列

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})

の逆行列を計算しなさい。問題 5.7. ℤ/14ℤ の元を要素にもつ行列

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

の逆行列を計算しなさい。問題 5.8. ℤ/16ℤ の元を要素にもつ行列

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

の逆行列を計算しなさい。問題 5.9. (可換とは限らない) 環 R の元を成分にする m, n 行列 A と n, m 行列 B とにたいして、

tr(AB) = tr(BA)

が成り立つことを証明しなさい。問題 5.10. ℤ/15ℤ の元を要素にもつ行列

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

の逆行列は存在するだろうか。行列式の乗法性

det(X) det(Y) = det(XY)

に基づいて答えなさい。問題 5.11. どんな整数 n に対しても、

AB − BA = 1_{n}

をみたす行列 A, B ∈ M_{n}(ℂ) は存在しないことを示しなさい。 (ヒント: トレース) 問題 5.12. 素数 p について、 A, B ∈ M_{p}(𝔽_{p}) で、

AB − BA = 1_{p}

を満たすものの例を挙げなさい。 (かなり難問である。 p = 3, 5 のときにまず試してみると良いかも知れない。 ) 問題 5.13. 体 K と素数 q、正の整数 l が与えられているとする。このとき、群 K^{×} の元 x の、 K^{×} の元としての位数 (=乗法的位数) が q^{l} の約数であるような元の全体は巡回群をなすことを示しなさい。問題 5.14. 有限体 K 上の行列 A ∈ M_{n}(K) が、 M_{n}(K) の中で可逆なら、ある正の整数 m について

A^{m} = 1_{n} (サイズ n の単位行列)

が成り立つことを証明しなさい。