代数学演習 I 問題 NO.6

環の準同型定理編

問題 6.1 (全部で 1 点). ℝ から ℝ への次の写像はいずれも環準同型でないことを示しなさい。

(1) f_{1}(x) = (x + 1)/2

(2) f_{2}(x) = x^{2}

(3) f_{3}(x) = 2x − 1

(4) f_{4}(x) = x^{3} + x^{2} − x

問題 6.2. (全部で 1) ℤ から ℤ への環準同型 φ があったとする。 (1) φ(2), φ(3) を求めよ。

(2) 任意の k ∈ ℤ_{>0} にたいして、 φ(k) = k であることを示しなさい。

(3) φ(k) = k (∀k ∈ ℤ) を示しなさい。

問題 6.3. (全部で 1) ℤ[X] から ℤ への環準同型 φ で、 φ(X) = 3 をみたすものがあったとする。

(1) φ(k) = k (∀k ∈ ℤ) を示しなさい。

(2) φ(5X), φ(X^{3}) をそれぞれもとめなさい。

(3) φ(X^{3} + 5X + 7) をもとめなさい。

(4) p(X) = ∑_{j} a_{j}X^{j} にたいして、 φ(p) をもとめなさい。

問題 6.4. ℤ/5ℤ から ℤ への環準同型は存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.5. ℚ から ℤ への環準同型は存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.6. ℚ から ℤ/7ℤ への環準同型は存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.7. ℤ/5ℤ から ℤ/7ℤ への環準同型は存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.8. (各 1 点) ℝ から ℝ への環準同型 f が与えられているとするとき、

(1) f(ℝ_{≥0}) ⊂ ℝ_{≥0} であることを示しなさい。

(2) x, y ∈ ℝ, x ≤ y ならば f(x) ≤ f(y) であることを示しなさい。 (3) f は連続であることを示しなさい。

(4) f = id (恒等写像) であることを示しなさい。

問題 6.9. ℂ から ℂ への準同型写像の例を二つ (以上) 挙げなさい。 (二つはかなり簡単に見つかるが、三つめを挙げるのは超難問である。それゆえ二つ答えるのが無難である。 )

以下この演習では、とくに断らないで [?]_{n} で ? の ℤ/nℤ でのクラスを表すことがある。文脈でわかると思うので、いちいち書かないが、注意していただきたい。

問題 6.10. ℤ/20ℤ から ℤ/5ℤ への写像 f を

f([x]_{20}) = [x]_{5} (x ∈ ℤ)

で定める。このとき、 f はうまく定義されていて、環準同型であることを示しなさい。問題 6.11. ℤ/31ℤ から ℤ/7ℤ への写像 f を

f([x]_{31}) = [x]_{7} (x ∈ ℤ)

で定めたいが、 f はうまく定義されていて、環準同型であるだろうか。理由をつけて答えなさい。

問題 6.12. 体 K から環 R への準同型写像は必ず単射であることを示しなさい。

問題 6.13. 環準同型写像 f : ℤ/18ℤ ∋ [x]_{18} ↦ [x]_{6} ∈ ℤ/6ℤ を考える。一行目に x ∈ ℤ/18ℤ (18 個), 二行目に f(x) が並んだような表を作り、 Ker(f), f^{−1}([1]_{6}), f^{−1}([2]_{6}) をそれぞれ求めなさい。

問題 6.14. 環準同型写像 f : ℤ/20ℤ ∋ [x]_{20} ↦ [x]_{4} ∈ ℤ/4ℤ を考える。一行目に x ∈ ℤ/18ℤ (18 個), 二行目に f(x) が並んだような表を作り、 Ker(f), f^{−1}([1]_{6}), f^{−1}([2]_{6}) をそれぞれ求めなさい。

問題 6.15. 行列

A = (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}) ∈ M_{n}(ℂ)

にたいして、

φ : ℂ[X] → M_{n}(ℂ)

を

φ(p) = p(A)

で定義する。このとき、 (1) φ(X), φ(X^{2}), φ(X^{3}) を求めなさい。

(2) φ(X^{7} + X + 1) をもとめなさい。

(3) φ は環準同型であることを示しなさい。

(4) Ker(φ) を求めなさい。

(5)

Image(φ) = \{(\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}); a, b ∈ ℂ\}

であることを証明しなさい。