代数学演習 I 問題 NO.8

準同型定理編 (2) 今回（No.8）は、「環」と言えば単位元を持つ可換環のことを指すことにします。また、「準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。

問題 8.1. ℚ[\sqrt{6}] ≅ ℚ[X]/(X^{2} − 6)ℚ[X] を示しなさい。

問題 8.2. 有理数体 ℚ の部分集合 ℤ[1/5] = {m/5^{n}; m ∈ ℤ; n = 0, 1, 2, …,) は ℚ の部分環になることを示しなさい。

問題 8.3.

(5X − 1)ℚ[X] ∩ ℤ[X] = (5X − 1)ℤ[X]

を示しなさい。

問題 8.4.

ℤ[1/5] ≅ ℤ[X]/(5X − 1)ℤ[X]

を示しなさい。

問題 8.5. 環 R のイデアル I と変数 X について、次の同型を示しなさい。

R[X]/IR[X] ≅ (R/I)[X]

問題 8.6. 環 S の部分環 R と S のイデアル I について、

R + I = {r + a; r ∈ R, a ∈ I}

は、 S の部分環となることを示しなさい。

問題 8.7. 環 S の部分環 R と S のイデアル I について、

S = R + I, R ∩ I = 0

が成り立てば、 S/I ≅ R となることを示しなさい。

問題 8.8. 環準同型 f : R → S について、 J が S のイデアルであれば、 f^{−1}(J) は R のイデアルとなることを示しなさい。

問題 8.9. 環準同型 f : R → S について、 I が R のイデアルのとき、 f(I) は S のイデアルとなりますか？ (ならなければ反例を挙げてください。 )f が全射ならどうですか？

問題 8.10. ℤ/7ℤ の元をすべて書き並べて、 ¯0 以外の元の逆元をそれぞれ求めなさい。

問題 8.11. K を体とします。このとき同型 K[X, Y]/XK[X, Y] ≅ K[Y] を示しなさい。

問題 8.12. 環 S とその部分環 R とについて、 P が S の素イデアルならば、 P ∩ R は R の素イデアルであることを示しなさい。「素イデアル」を「極大イデアル」にかえるとどうか？

問題 8.13. 環 R のイデアルに I について、 I · I を I^{2} と略記します。 J も R のイデアルで、 I + J = R となれば、 I^{2} + J^{2} = R となることを示しなさい。

問題 8.14. 整域 R の元 a, b について、次を示しなさい。

(1) a|b である (すなわち、ある c ∈ R があって、 b = ac と書ける) ことと、 aR ⊂ bR とは同値である。 (2) a と b とが同伴である (すなわち、 a|b かつ b|a が成り立つ) こ

とと、 aR = bR とは同値である。

問題 8.15. 実数体 ℝ 上の多項式 aX^{2} + bX + c が環 ℝ[X] で既約となる条件は、 b^{2} − 4ac < 0 であることを示しなさい。

問題 8.16. 体 ℤ/11ℤ 上の二次式 X^{2} − a (a = ¯0, ¯1, …, ¯10) が既約かどうかをそれぞれの a について調べなさい。

問題 8.17. 3^{100000} を 17 で割った余りを求めなさい。

問題 8.18. 自然数 n が与えられたとします。次の関係式を満たす f, g ∈ ℂ[X] を一組見つけなさい。

(1 + X)f(X) + X^{n}g(X) = 1

以下は初等整数論からの補遺です。

問題 8.19. 正の整数 a, b の最大公約数が 1 であるための必要十分条件は、

al + bm = 1

を満たす整数 l, m が存在することである。これを示しなさい。

問題 8.20. (この問題に限っては前問が解けている、いないに拘わらずその結果を使ってよい。 (いずれにせよ講義でやるから。 )) 前問を用いて、 a, b が互いに素ならば、 a^{2} と b^{2} も互いに素であることを示しなさい。

問題 8.21. 前問を用いて、 a, b が互いに素ならば、 a^{2} と b^{2} も互いに素であることを示しなさい。

問題 8.22. 前問をもちいて、\sqrt{6} は無理数であることを証明しなさい。ただし、素因数分解の一意性の知識を用いないこと。

問題 8.23. 前問と同じ前提条件で、一般に、平方数でない (つまり、 \{n^{2}; n ∈ ℤ\} の元ではない) 整数 m にたいして、\sqrt{m} は無理数であることを証明しなさい。

問題 8.24. 整数係数の多項式

p(X) = ∑_{j=0}^{n} a_{j}X^{j} (a_{j} ∈ ℤ (j = 0, 1, 2, …, n), a_{n} ≠ 0)

について、 p の、 0 でない有理根 r があったとする。すなわち、 p(r) = 0 とする。 r を既約分数\frac{l}{m} と書いたとき、

(1) r の分子 l は p の定数項 a_{0} の約数であることを示しなさい。

(2) r の分母 m は p の最高次の係数 a_{n} の約数であることを示しなさい。