代数学演習 I 問題 No.8

今回（No.8）は、「環」と言えば単位元を持つ可換環のことを指すことにします。また、「準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。

問題 8.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\sqrt{6}]\cong$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-6)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ を示しなさい。

問題 8.2   有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の部分集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[1/5]=\{m/5^n; m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; n=0,1,2,\dots,)$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の部分環になることを示しなさい。

問題 8.3  

$$(5X-1)$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[X]\cap {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]=(5X-1){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$$

を示しなさい。

問題 8.4  

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[1/5]\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(5X-1){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$$

を示しなさい。

問題 8.5   環 $R$ のイデアル $I$ と変数 $X$ について、次の同型を示しなさい。

$$R[X]/IR[X] \cong (R/I)[X]$$

問題 8.6   環 $S$ の部分環 $R$ と $S$ のイデアル $I$ について、

$$R+I=\{r+a;r\in R,a \in I\}$$

は、$S$ の部分環となることを示しなさい。

問題 8.7   環 $S$ の部分環 $R$ と $S$ のイデアル $I$ について、

$$S=R+I, \quad R\cap I=0$$

が成り立てば、 $S/I\cong R$ となることを示しなさい。

問題 8.8   環準同型 $f:R\to S$ について、$J$ が $S$ のイデアルであれば、 $f^{-1}(J)$ は $R$ のイデアルとなることを示しなさい。

問題 8.9   環準同型 $f:R\to S$ について、 $I$ が $R$ のイデアルのとき、$f(I)$ は $S$ のイデアルとなりますか？(ならなければ反例を挙げてください。)$f$ が全射ならどうですか？

問題 8.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて書き並べて、$\bar{0}$ 以外の元の逆元をそれぞれ求めなさい。

問題 8.11   $K$ を体とします。このとき同型 $K[X,Y]/XK[X,Y]\cong K[Y]$ を示しなさい。

問題 8.12   環 $S$ とその部分環 $R$ とについて、$P$ が $S$ の素イデアルならば、$P\cap R$ は $R$ の素イデアルであることを示しなさい。「素イデアル」を「極大イデアル」にかえるとどうか？

問題 8.13   環 $R$ のイデアルに $I$ について、 $I\cdot I$ を $I^2$ と略記します。$J$ も $R$ のイデアルで、$I+J=R$ となれば、$I^2+J^2=R$ となることを示しなさい。

問題 8.14   整域 $R$ の元 $a,b$ について、次を示しなさい。

1. $a\vert b$ である(すなわち、ある $c\in R$ があって、 $b=ac$ と書ける)ことと、 $aR\subset bR$ とは同値である。
2. $a$ と $b$ とが同伴である(すなわち、$a\vert b$ かつ $b\vert a$ が成り立つ)ことと、 $aR=bR$ とは同値である。

問題 8.15   実数体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の多項式 $aX^2+bX+c$ が環 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ で既約となる条件は、$b^2-4ac<0$ であることを示しなさい。

問題 8.16   体 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の二次式 $X^2-a$ ( $a=\bar{0},\bar{1},\dots,\bar{10}$ ) が既約かどうかをそれぞれの $a$ について調べなさい。

問題 8.17   $3^{100000}$ を $17$ で割った余りを求めなさい。

問題 8.18   自然数 $n$ が与えられたとします。次の関係式を満たす $f,g\in {\mathbb{C}}[X]$ を一組見つけなさい。

$$(1+X)f(X)+X^ng(X)=1$$

以下は初等整数論からの補遺です。

問題 8.19   正の整数 $a,b$ の最大公約数が $1$ であるための必要十分条件は、

$$a l +b m=1$$

を満たす 整数 $l,m$ が存在することである。これを示しなさい。

問題 8.20 (この問題に限っては前問が解けている、いないに拘わらず その結果を使ってよい。(いずれにせよ講義でやるから。)   ) 前問を用いて、 $a,b$ が互いに素ならば、 $a^2$ と $b^2$ も互いに素であることを示しなさい。

問題 8.21   前問を用いて、 $a,b$ が互いに素ならば、 $a^2$ と $b^2$ も互いに素であることを示しなさい。

問題 8.22   前問をもちいて、 $\sqrt{6}$ は無理数であることを証明しなさい。ただし、 素因数分解の一意性の知識を用いないこと。

問題 8.23   前問と同じ前提条件で、 一般に、平方数でない(つまり、 $\{n^2; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ の元ではない)整数 $m$ に たいして、 $\sqrt{m}$ は無理数であることを証明しなさい。

問題 8.24   整数係数の多項式

$$p(X)=\sum_{j=0}^n a_j X^j \qquad(a_j\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ (j=0,1,2,\dots,n),\quad a_n \neq 0)$$

について、 $p$ の、 0 でない有理根 $r$ があったとする。 すなわち、$p(r)=0$ とする。 $r$ を既約分数 $\frac{l}{m}$ と書いたとき、

1. $r$ の分子 $l$ は $p$ の定数項 $a_0$ の約数であることを示しなさい。
2. $r$ の分母 $m$ は $p$ の最高次の係数 $a_n$ の約数であることを示しなさい。