代数学演習 I 問題 NO.10

一意分解環・単項イデアル整域・ユークリッド整域編 (2)

問題 10.1. 単項イデアル整域 R の元 a, b について、 R のイデアル I = (a, b) は、 (R が単項イデアル整域だから、 ) ある一つの元 d で生成されるイデアル (d) に一致する筈です。この d は a, b の最大公約元であること、すなわち、

(1) d は a, b の公約元である。 (つまり a = da′, b = db′ となる a′, b′ ∈ R が存在する。 )

(2) d′ ∈ R が a, b の公約元ならば、 d′ は d の約元である。ということを示しなさい。

上の問題により、単項イデアル整域では、「最大公約元」を、数のときと同様に扱えます。

問題 10.2. α を ℤ[\sqrt{−1}] の素元とします。このとき、 |α|^{2} は素数か、素数の 2 乗かのいずれかであることを示しなさい。 (ヒント:素数 p ∈ ℤ が |α|^{2} の約数ならば、 p|α\overline{α}. p と α との最大公約元をとってみなさい。 )

ユークリッド環においては、《ユークリッドの互除法》によって最大公約元を求めることができます。手始めに次の問題をどうぞ。

問題 10.3. 次の環 R の二つの元の最大公約数をユークリッドの互除法により求めなさい。

(1) R = ℤ;100010, 10124

(2) R = ℂ[X];X^{10} − 1, X^{12} − 1

例題 10.1. ℤ[\sqrt{−1}] において、 3 + 4\sqrt{−1}, 15 の最大公約元を求めなさい。

|15| = 15 > 5 = |3 + 4\sqrt{−1}| だから、まず 15 を 3 + 4\sqrt{−1} で割ってみる。

\frac{15}{3 + 4\sqrt{−1}} = \frac{9 − 12\sqrt{−1}}{5} = 1.8 − 2.4\sqrt{−1}

この商にもっとも近いのは 2 − 2\sqrt{−1}.

10 − (3 + 4\sqrt{−1})(2 − 2\sqrt{−1}) = 1 − 2\sqrt{−1}

ゆえに、 15 を 3 + 4\sqrt{−1} で割った《余り》は 1 − 2\sqrt{−1}. こんどは 3 + 4\sqrt{−1} を 1 − 2\sqrt{−1} で割る。割り切れるので、答えは 1 − 2\sqrt{−1}.

問題 10.4. ℤ[\sqrt{−1}] において、次の各組の最大公約元を求めなさい。 (1) 12 + 36\sqrt{−1}, 5 + 13\sqrt{−1}

(2) 7 + 8\sqrt{−1},226

問題 10.5. ℤ[\sqrt{−2}] において、次の各組の最大公約元を求めなさい。 (1) 2 + 3\sqrt{−2}, 11 + 22\sqrt{−2}

(2) 5 + 3\sqrt{−2},129

問題 10.6. ℚ[X]/(X^{2} + 1) の次の元を簡単にしなさい。

X̄^{5} + 2X̄^{4} + 3X̄ + 2

問題 10.7. ℚ[X]/(X − 1) の元 X̄^{100} を簡単にしなさい。問題 10.8. 環 ℚ[X]/(X^{2} − 2) の元 aX̄ + b (a, b ∈ ℚ, (a, b) ≠ (0, 0)) の逆元を (それが存在する場合には) 求めなさい。この環は体だろうか。

問題 10.9. 環 ℚ[X]/(X^{2} − 1) の元 aX̄ + b (a, b ∈ ℚ, (a, b) ≠ (0, 0)) の逆元を (それが存在する場合には) 求めなさい。この環は体だろうか。

問題 10.10. ℤ[X]/(X^{2} − 5) の元 (X̄ + 1)^{3} を簡単にしなさい。

問題 10.11. (1) 10 進数 123456789(10) = 1 × 10^{8} + 2 × 10^{7} + 3 × 10^{6} + 4 × 10^{5} + 5 × 10^{4} + 6 × 10^{3} + 7 × 10^{2} + 8 × 10^{1} + 9 を 9 で割った余りを求めなさい。

(2) 7 進数 135246(7) = 1 × 7^{5} + 3 × 7^{4} + 5 × 7^{3} + 2 × 7^{2} + 4 × 7 + 6 を 6 で割った余りを求めなさい。

(3) 16 進数

147ad258be369cf(16)

(=1 · 16^{14} + 4 · 16^{13} + 7 · 16^{12} + 10 · 16^{11} + 13 · 16^{10} + 2 · 16^{9} + 5 · 16^{8}
+8 · 16^{7} + 11 · 16^{6} + 14 · 16^{5} + 3 · 16^{4} + 6 · 16^{3} + 9 · 16^{2} + 12 · 16 + 15)

を 15 で割った余りを求めなさい。 (a=10,b=11,c=12,d=13,e=14,f=15; コンピュータの世界では 147ad258be369cf(16) のことを 147ad258be369cfh とか 0x147ad258be369cf と書きます。

(4) 多項式 X^{14} + 3X^{5} + 7X^{2} + 8 を X − 1 で割った余りを求めなさい。

問題 10.12. ℤ に No.1 の問題 1.7, 1.8 で定義された和 ⊞, 積 ⊠ を導入した環を R とするとき、

(1) 1_{R} = 6 であることを確認し、正の整数 n にたいして、

n_{R} = \overbrace{1_{R} + 1_{R} + 1_{R} + ⋯ + 1_{R}}^{n}(= \overbrace{6 ⊞ 6 ⊞ 6 ⊞ ⋯ ⊞ 6}^{n})

の値を求めなさい。

(2) ℤ から R への準同形写像を作りなさい。

(3) ℤ ≅ R であることを示しなさい。