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代数学演習 I 問題 No.10

\fbox{一意分解環・単項イデアル整域・ユークリッド整域編(2)}

問題 10.1   単項イデアル整域 $ R$ の元 $ a,b$ について、$ R$ のイデアル $ I=(a,b)$ は、($ R$ が単項イデアル整域だから、)ある一つの元 $ d$ で生成されるイデアル $ (d)$ に一致する筈です。この $ d$$ a,b$ の最大公約元であること、すなわち、
  1. $ d$$ a,b$ の公約元である。(つまり $ a=da',b=db'$ となる $ a',b'\in R$ が存在する。)
  2. $ d'\in R$$ a,b$ の公約元ならば、$ d'$$ d$ の約元である。
ということを示しなさい。

上の問題により、単項イデアル整域では、 「最大公約元」を、数のときと同様に扱えます。

問題 10.2   $ \alpha$ % latex2html id marker 1092
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ の素元とします。このとき、 $ \vert\alpha\vert^2$ は素数か、素数の2乗かのいずれかであることを示しなさい。(ヒント:素数 $ p\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ \vert\alpha\vert^2$ の約数ならば、 $ p\vert\alpha\overline{\alpha}$ . $ p$$ \alpha$ との最大公約元をとってみなさい。)

ユークリッド環においては、《ユークリッドの互除法》によって最大公約元を求めることができます。 手始めに次の問題をどうぞ。

問題 10.3   次の環 $ R$ の二つの元の最大公約数をユークリッドの互除法により求めなさい。
  1. $ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ; $ 100010,10124$
  2. $ R={\mathbb{C}}[X]$ ; $ X^{10}-1,X^{12}-1$

例題 10.1   % latex2html id marker 1126
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ において、 % latex2html id marker 1128
$ 3+4\sqrt{-1},15$ の最大公約元を求めなさい。

% latex2html id marker 1130
$ \vert 15\vert=15>5=\vert 3+4\sqrt{-1}\vert$ だから、まず $ 15$ % latex2html id marker 1134
$ 3+4\sqrt{-1}$ で割ってみる。

% latex2html id marker 1136
$\displaystyle \frac{15}{3+4\sqrt{-1}}=\frac{9-12\sqrt{-1}}{5}=1.8-2.4\sqrt{-1}
$

この商にもっとも近いのは % latex2html id marker 1138
$ 2-2\sqrt{-1}$ .

% latex2html id marker 1140
$\displaystyle 10-(3+4\sqrt{-1})(2-2\sqrt{-1})=1-2\sqrt{-1}
$

ゆえに、$ 15$ % latex2html id marker 1144
$ 3+4\sqrt{-1}$ で割った《余り》は % latex2html id marker 1146
$ 1-2\sqrt{-1}$ . こんどは % latex2html id marker 1148
$ 3+4\sqrt{-1}$ % latex2html id marker 1150
$ 1-2\sqrt{-1}$ で割る。割り切れるので、答えは % latex2html id marker 1152
$ 1-2\sqrt{-1}$ .

問題 10.4   % latex2html id marker 1159
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ において、次の各組の最大公約元を求めなさい。
  1. % latex2html id marker 1161
$ 12+36\sqrt{-1}$ , % latex2html id marker 1163
$ 5+13\sqrt{-1}$
  2. % latex2html id marker 1165
$ 7+8\sqrt{-1}$ ,$ 226$

問題 10.5   % latex2html id marker 1174
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$ において、次の各組の最大公約元を求めなさい。
  1. % latex2html id marker 1176
$ 2+3\sqrt{-2}$ , % latex2html id marker 1178
$ 11+22\sqrt{-2}$
  2. % latex2html id marker 1180
$ 5+3\sqrt{-2}$ ,$ 129$

問題 10.6   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]/(X^2+1)$ の次の元を簡単にしなさい。

$\displaystyle \bar{X}^5+2\bar{X}^4+3\bar{X}+2
$

問題 10.7   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]/(X-1)$ の元 $ \bar{X}^{100}$ を簡単にしなさい。

問題 10.8   環 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]/(X^2-2)$ の元 $ a \bar{X}+b$ ( $ a,b\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , % latex2html id marker 1217
$ (a,b)\neq (0,0)$ ) の逆元を(それが存在する場合には)求めなさい。 この環は体だろうか。

問題 10.9   環 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]/(X^2-1)$ の元 $ a \bar{X}+b$ ( $ a,b\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , % latex2html id marker 1232
$ (a,b)\neq (0,0)$ ) の逆元を(それが存在する場合には)求めなさい。 この環は体だろうか。

問題 10.10   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-5)$ の元 $ (\bar{X}+1)^3$ を簡単にしなさい。

問題 10.11  
  1. $ 10$ 進数 $ 123456789 (10)=
1\times 10^8+2\times 10^7+3\times 10^6+4\times 10^5
+5\times 10^4+6\times 10^3+7\times 10^2+8\times 10^1+9$$ 9$ で割った余りを 求めなさい。
  2. $ 7$ 進数 $ 135246 (7)=
1\times 7^5+3\times 7^4+5\times 7^3+
2\times 7^2+4\times 7+6$$ 6$ で割った余りを求めなさい。
  3. $ 16$ 進数

      147ad258be369cf$\displaystyle (16)$    
    $\displaystyle (=$ $\displaystyle 1 \cdot 16^{14}+4 \cdot 16^{13}+7 \cdot 16^{12}+10\cdot 16^{11}+ 13\cdot 16^{10}+2 \cdot 16^9 +5 \cdot 16^8$    
    $\displaystyle +$ $\displaystyle 8\cdot 16^7 + 11\cdot 16^6 +14\cdot 16^5 +3 \cdot 16^4 +6\cdot 16^3+ 9\cdot 16^2 + 12\cdot 16 +15 )$    

    $ 15$ で割った余りを求めなさい。(a=10,b=11,c=12,d=13,e=14,f=15; コンピュータ の世界では 147ad258be369cf$ (16)$ のことを 147ad258be369cfh とか 0x147ad258be369cf と書きます。
  4. 多項式 $ X^{14}+3X^5+7X^2+8$$ X-1$ で割った余りを求めなさい。

問題 10.12   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ にNo.1 の問題1.7, 1.8 で定義された和 $ \boxplus$ , 積 $ \boxtimes$ を導入した環を $ R$ とするとき、
  1. $ 1_R=6$ であることを確認し、正の整数 $ n$ にたいして、

    $\displaystyle n_R=
\overbrace{1_R+ 1_R +1_R +\dots +1_R}^n
(=
\overbrace{6\boxplus 6\boxplus 6 \boxplus\dots \boxplus 6 }^n)
$

    の値を求めなさい。
  2. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ R$ への準同形写像を作りなさい。
  3. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong R$ であることを示しなさい。


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2008-12-11