代数学演習 I 問題 NO.11

環の直積分解

問題 11.1. (ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ) の元を全て挙げなさい。

問題 11.2. (ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ)^{×} の元を全て挙げなさい。

問題 11.3. ℤ/12ℤ ≅ ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ であることを示しなさい。

問題 11.4. f : ℤ/4ℤ → ℤ/12ℤ を

f([x]_{4}) = [9x]_{12}

で定義する。このとき、 f はうまく定義されて、和と積を保つが、単位元を保たない (したがって、本演習では環準同型の仲間には入れない) ことを示しなさい。

問題 11.5. 単位元を持つ可換環 R, S の間の写像 f : R → S が和と積を保つとします。このとき、次のことをすべて示しなさい。

(1) e = f(1) は S の巾等元である。

(2) S_{1} = eS とおくと、 S_{1} は環であって、 f は R から S_{1} への環準同型を定義する。

問題 11.6. l, m を互いに素な正の整数とし、

f : ℤ/lmℤ → ℤ/lℤ × ℤ/mℤ

を

f([x]_{lm}) = ([x]_{l}, [x]_{m})

で決める。このとき、 (1) f はうまく定義されていることを示しなさい。

(2) f は環準同型であることを示しなさい。

(3) f の核はどうなるか？

(4) ℤ/lmℤ , ℤ/lℤ × ℤ/mℤ の元の個数をそれぞれ言いなさい。

(5) f([x]_{lm}) = ([1]_{l}, [0]_{m}) を満たす整数 x が存在することを示しなさい。

(6) 上の x にたいして、

x = k_{1}l + 1 = k_{2}m

なる整数 k_{1}, k_{2} が存在することを示し、そのことから、

al + bm = 1

を満たす l, m が存在することの証明を与えなさい。

問題 11.7. (1) ℂ[X] のなかの元 f(X) で、 3X で割ると 1 余り、

5X^{2} −1 で割ると X +3 余るようなものの例を一つ挙げなさい。 (2) 上のような f(X) を全て求めなさい。