複素数と論理 (学問基礎数学コース演習) NO.2

例を挙げること例には次のような効用がある。

• 定義自体が完全であることをチェックする。

• 相手 (自分) が正しく理解するのを助ける。

• 定義に慣れる。

• 机上の空論になるのを避けることができる。

• 議論の重要な部分をより具体的に理解できる。

• 新しいアイディアを産むヒントになる。

• 正しくない議論を (反例を挙げることにより) 避けることがで

きる。例を挙げるときには、次のことに注意すると良い。

• できるだけ単純な、誰でも理解できる例を挙げるように努力すること。

• (実験などの場合) 例が再現性を持つことを確認しておくこと。 • その例が、今の議論にどのように適合するのか、説明すること。 • その例のもつ特殊事情、詳細もうまく説明できると説得力を持

つ場合がある。

例題 2.1. 円周率 π を十進小数で表現したときに、 ”99” が現れることがあるだろうか。

π = 3.1415926535897932384626433832795028841971
6939937 …

なので、小数点以下第 44 位, 第 45 位がちょうど 99 である。

このように相手にも分かるように、できるだけ具体的に指摘したほうがよい。

3 より大きな実数は存在する。

という命題は正しいが、これは 3 より大きな実数の存在 (たとえば、

5) を頭で思い浮かべているからそう思うのであって、その頭の中の考えを取り出して、 ○ 5 は実数であって、 3 より大きい

と言ったほうがよい。

前回の問題 (2) でも式だけ計算して、つまり、

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix}) = (\begin{matrix}ap + br & aq + bs \\ cp + dr & cq + ds \end{matrix}) , (\begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix}) (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix}pa + qc & pb + qd \\ ra + sc & rb + sd \end{matrix})

の計算だけして、両者が等しくないと即断すべきではない。実際の両者が異るような実数 a, b, c, d, p, q, r, s の例が存在することを示すべきである。さもなければ

命題 2.1. 異る実係数多変数多項式 f(x_{1}, …, x_{n}), g(x_{1}, …, x_{n}) にたいし、 f(a_{1}, …, a_{n}) ≠ g(a_{1}, …, a_{n}) なる実数 a_{1}, a_{2}, …, a_{n} が存在する。

という命題を証明することになるが、これはそれなりに難しい。実数体の代わりに、有限体の場合には命題 2.1 は実はウソなのだ。 )

問題 2.1. (1) 複素数 z, w が、 zw = 0 をみたしているとする。このとき、 z = 0 か w = 0 のどちらかが成り立つことを示しなさい。

(2) 2 次正方行列 A, B ∈ M_{2}(ℝ) が AB = 0 をみたしているとする。このとき、 A = 0 か B = 0 のどちらかが成り立つと必ず言えるだろうか？

複素数についてもう少し関連する定義を書いておこう。複素数 z は、 z = a + bJ (a, b は実数) と一意に書けたのであった。 J は J^{2} = −1 を満たす「数」である。これのことを i とか、 J とか呼び続けてもよいのであるが、ここでは記号の節約のために以降は\sqrt{−1} と書こう。\sqrt{−1} はしばしば虚数単位と呼ばれる。

定義 2.1. 複素数 z について、 z = a + b\sqrt{−1} (a, b は実数) と書いたとき、

(1) a のことを z の実部といい、 ℜz と書く。

(2) b のことを z の虚部といい、 ℑz と書く。

(3) a − b\sqrt{−1} のことを z の複素共役といい、\overline{z} と書く。

複素数は実部と虚部で与えてもいいのだが、それでは値打ちが少ない。代わりに複素共役を使うことを考えよう。

補題 2.1. z の実部と虚部は z と\overline{z} を用いて

ℜz = \frac{z + \overline{z}}{2} , ℑz = \frac{z − \overline{z}}{2\sqrt{−1}}

と書ける。

複素数の定義も思い出してみよう。

補題 2.2.

z = [\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}]

に対して、その複素共役は

[\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}] = ([\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}] の転置行列)

である。

転置行列に関する一般論により、つぎのことが成り立つことがわかる。

命題 2.2. 任意の複素数 z, w に対して、次のことが成り立つ。 (1) \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}

(2) \overline{z − w} = \overline{z} − \overline{w}

(3) \overline{zw} = \overline{w} \overline{z}

さらに、

命題 2.3. 複素数 z に対して、 z\overline{z} は実数であり、さらに z = a + b\sqrt{−1} (a, b ∈ ℝ) と書くと、

z\overline{z} = a^{2} + b^{2}(≥ 0)

であることが分かる。

定義 2.2. 複素数 z に対して、 z\overline{z} の非負の平方根\sqrt{z\overline{z}} を z の絶対値と呼び、 |z| で書く。

|z|^{2} = det ([\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}])

にも注意しよう。