複素数と論理 (学問基礎数学コース演習) NO.3

「or」と「ならば」前回 A, B ∈ M_{2}(ℝ) のときや A, B ∈ ℂ のと

き、それぞれについて

AB = 0 ⟹ A = 0 or B = 0

かどうか、ということについて尋ねたが、数学 (に限らず、論理的な話が必要な世界) では、言葉のアヤや「行間を読む」という曖昧さを排除するため、「or」と「 ⟹ (ならば)」などのの意味はいつでもつぎのように使うように決まっている。

定義 3.1. 命題 P にたいし、その真理値は、 P が真のとき 1, P が偽のとき 0 で定める。

定義 3.2. 命題 P,Q にたいして、その真理値を p,q とするとき、 (1) 「P and Q」の真理値は min(p, q) である。

(2) 「P or Q」の真理値は max(p, q) である。

(3) 「not P」の真理値は 1 − p である。

(4) P ⟹ Q の真理値は「(not P ) or Q 」の真理値と同じになるように定義する。

とくに注意が必要なのは、「P or Q」と「P ⟹ Q」の使い方である。

• 「P or Q」は、 P と Q がともに正しい時もただしい。

• 「P ⟹ Q 」は P が間違っていれば、 Q の真偽にかかわらず

正しい。複素数を「数」の仲間として認めるのにさいし、複素数の全体が、

M_{2}(ℝ) はもたない良い性質をもつということが前回の問題でわかる。

つぎは、複素数を視覚的に理解するという段階に進もう。それには次のような意義がある:

(1) 問題を把握しやすくする。

(2) 問題の直観的な見方を強化し、間違いをしにくくする。

定義 3.3. 平面 ℝ^{2} (のコピー) を一つ用意し、複素数 a + b\sqrt{−1} に点 (a, b) を対応させたものを複素平面と呼ぶ

複素平面自体のことも ℂ とよぶことがある。

複素数の加法はベクトルの加法と同じだから、次のことが成り立つ。

補題 3.1.

(1) 複素数 z, w に対して、 z + w は、 0, z, z + w, w が平行四辺形になる位置にある。

(2) 複素数 z にたいして、 −z は 0 に関して z と点対称な位置にある。

複素数の乗法はどうだろうか、完全な答えは来週与えることにして、今週は次の補題と問題をやって頂こう。

補題 3.2. 複素数 z にたいして、\sqrt{−1}z は z を原点を中心に\frac{π}{2} だけ反時計回りに回転させた位置にある。

問題 3.1. z = 1 + \sqrt{−1} にたいし、 1, z, z^{2}, z^{3}, z^{4}, z^{5} を複素平面上にプロットした図を描いてみよ。