複素数と論理(学問基礎数学コース演習) No.3

前回 $A,B\in M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ のときや $A,B\in {\mathbb{C}}$ のとき、それぞれについて

$$A B=0 \implies A=0$$    or $$B=0$$

かどうか、ということについて尋ねたが、数学(に限らず、論理的な 話が必要な世界)では、言葉のアヤや「行間を読む」という曖昧さを 排除するため、 「or」と「$\implies$ (ならば)」などのの意味はいつでも つぎのように使うように決まっている。

定義 3.1   命題 P にたいし、 その真理値は、Pが真のとき 1, P が偽のとき 0 で定める。

定義 3.2   命題 P,Q にたいして、その真理値を p,q とするとき、

1. 「P and Q」の真理値は $\min(p,q)$ である。
2. 「P or Q」の真理値は $\max(p,q)$ である。
3. 「not P」の真理値は $1-p$ である。
4. $P \implies Q$ の真理値は 「(not P ) or Q 」の真理値と同じになるように定義する。

とくに注意が必要なのは、「P or Q」 と 「 $P \implies Q$ 」 の使い方である。

• 「P or Q」は、PとQ がともに正しい時もただしい。
• 「P $\implies$ Q 」は Pが間違っていれば、Qの真偽に かかわらず正しい。

複素数を「数」の仲間として認めるのにさいし、 複素数の全体が、 $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ はもたない良い性質をもつということが 前回の問題でわかる。

つぎは、複素数を視覚的に理解するという段階に進もう。 それには次のような意義がある:

1. 問題を把握しやすくする。
2. 問題の直観的な見方を強化し、間違いをしにくくする。

定義 3.3   平面 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ (のコピー)を一つ用意し、複素数 $a+b \sqrt{-1}$ に 点 $(a,b)$ を対応させたものを複素平面と呼ぶ

複素平面自体のことも ${\mathbb{C}}$ とよぶことがある。

複素数の加法はベクトルの加法と同じだから、次のことが成り立つ。

補題 3.1  

1. 複素数 $z,w$ に対して、$z+w$ は、$0,z,z+w,w$ が平行四辺形になる 位置にある。
2. 複素数 $z$ にたいして、 $-z$ は 0 に関して $z$ と点対称な 位置にある。

複素数の乗法はどうだろうか、完全な答えは来週与えることにして、 今週は次の補題と問題をやって頂こう。

補題 3.2   複素数 $z$ にたいして、 $\sqrt{-1} z$ は $z$ を原点を中心に $\frac{\pi}{2}$ だけ反時計回りに回転させた位置にある。

問題 3.1   $z=1+\sqrt{-1}$ にたいし、 $1, z,z^2,z^3,z^4,z^5$ を複素平面上にプロットした図を描いてみよ。