解析学 IA 演習 NO.1

心構え:

(1) とくに断らない限り、各問題には理由をあげて答えること。 (2) 問題に図形がでてきた場合には、できる限りその概形を描くこ

と。

(3) 注意書きがないものは各問 1 点。 3 点で合格。

問題 1.1. 三角不等式を用いて、任意の P, Q, R, S ∈ ℝ^{n} にたいして、

d(P, Q) + d(Q, R) + d(R, S) ≥ d(P, S)

が成り立つことを示しなさい。

問題 1.2 (各 1 点). つぎの ℝ^{2} の部分集合はそれぞれ ℝ^{2} の開集合だろうか？

(1) {(x, y)|0 < x < 1}.

(2) {(x, y)|0 < x < 1 かつ 0 < y < 1}.

(3) {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1 かつ 0 ≤ y ≤ 1}.

(4) {(x, y)|x^{2} < 1}.

(5) {(x, y)|0 < xy < 1}.

(6) {(x, 0)|x ∈ ℝ}.

(7) {(x, y)|xy = 0}.

次の問題では、閉集合は「補集合が開集合である」ことで定義することにする。 (その定義を用いて解くこと)

問題 1.3 (各 1 点). つぎの ℝ^{2} の部分集合はそれぞれ ℝ^{2} の閉集合だろうか？

(1) {(x, y)|0 < x < 1}.

(2) {(x, y)|0 < x < 1 かつ 0 < y < 1}.

(3) {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1 かつ 0 ≤ y ≤ 1}.

(4) {(x, y)|x^{2} < 1}.

(5) {(x, y)|0 < xy < 1}.

(6) {(x, 0)|x ∈ ℝ}.

(7) {(x, y)|xy = 0}.

問題 1.4. ℝ^{n} の開球 B_{r}(x) の任意の二点は B_{r}(x) 内の線分で結べることを示しなさい。別の言い方をすると: B_{r}(x) 内の任意の二点 P, Q にたいして、 P, Q を結ぶ線分の上の任意の点 R は B_{r}(x) に属することを示しなさい。

問題 1.5. (各 1) ℝ^{2} の部分集合 S を

S = {(x, y)||xy| < 1}

に対して (1) S は開集合だろうか?

(2) S は閉集合だろうか?

(3) S の任意の二点は S 内の線分で結ぶことができるだろうか？ (4) S の任意の二点は S 内の折れ線で結ぶことができるだろうか？

定義 1.1. ℝ^{n} の元の列 {P_{j}; j = 1, 2, 3, …, } がコーシー列であるとは、

∀ϵ > 0∃N ∈ ℕ(n, m > N ⟹ d(P_{n}, P_{m}) < ϵ)

が成り立つときにいう。問題 1.6 (各 1。ただし順に解くこと). ℝ^{n} の元の列 {P_{j}} がコーシー列であるとする。

P_{j} = (x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, x_{j}^{(3)}, …, x_{j}^{(n)})

と成分表示したとき、

(1) 第一成分の列 {x_{j}^{(1)}; j = 1, 2, … } は実数のコーシー列であることを示しなさい。

(2) ある Q ∈ ℝ^{n} があって、 {P_{j}} は Q に収束することをしめしなさい。

問題 1.7. (各 1) つぎの各集合は ℝ^{2} の部分集合として有界であろうか。 (本問については各集合の概形は描かなくても良い。 )

(1) {(x, y); 1 < e^{x} < 100, 1 < e^{y} < 500}

(2) {(x, y); (x − 1)^{4} + y^{4} < 1}

(3) {(a + b, a − b); a, b ∈ [0, 5]}

(4) {(cos(a^{5}), e^{−a^{2}}); a ∈ ℝ}.

問題 1.8. (各 1。但し順に解くこと) P_{n} = (cos(n), sin(n)) とおくとき、 (1) {P_{n}; n = 1, 2, 3, … } は (0, 0) に収束しないことを示しなさい。 (2) {P_{n}; n = 1, 2, 3, … } はなにかある点に収束するだろうか？

(3) {P_{n}; n = 1, 2, 3, … } は収束する部分列を持つだろうか？

問題 1.9. f : ℝ → ℝ^{2} を

f(x) = (cos(x), sin(x))

で定めたとき、 f のグラフ Γ_{f} の概形を描きなさい。

問題 1.10. f : ℝ → ℝ^{2} を

f(x) = (e^{x} cos(x), e^{x} sin(x))

で定めたとき、 f のグラフ Γ_{f} の概形を描きなさい。

問題 1.11. 前問の f の像は閉集合だろうか?