解析学 IA演習 No.1

心構え:

1. とくに断らない限り、各問題には理由をあげて答えること。
2. 問題に図形がでてきた場合には、できる限りその概形を描くこと。
3. 注意書きがないものは各問1点。3点で合格。

問題 1.1   三角不等式を用いて、任意の $P,Q,R,S\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ にたいして、

$$d(P,Q) + d(Q,R) +d (R,S) \geq d(P,S)$$

が成り立つことを示しなさい。

問題 1.2 (各1点)   つぎの $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の部分集合はそれぞれ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の開集合だろうか？

1. $\{(x,y)\vert 0< x < 1\}$ .
2. $\{(x,y)\vert 0< x <1$    かつ $0< y < 1\}$ .
3. $\{(x,y)\vert 0\leq x \leq 1$    かつ $0\leq y \leq 1\}$ .
4. $\{(x,y)\vert x^2 <1\}$ .
5. $\{(x,y)\vert 0< x y < 1 \}$ .
6. $\{(x,0)\vert x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ .
7. $\{(x,y)\vert x y =0\}$ .

次の問題では、閉集合は「補集合が開集合である」ことで定義することに する。(その定義を用いて解くこと)

問題 1.3 (各1点)   つぎの $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の部分集合はそれぞれ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の閉集合だろうか？

1. $\{(x,y)\vert 0< x < 1\}$ .
2. $\{(x,y)\vert 0< x <1$    かつ $0< y < 1\}$ .
3. $\{(x,y)\vert 0\leq x \leq 1$    かつ $0\leq y \leq 1\}$ .
4. $\{(x,y)\vert x^2 <1\}$ .
5. $\{(x,y)\vert 0< x y < 1 \}$ .
6. $\{(x,0)\vert x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ .
7. $\{(x,y)\vert x y =0\}$ .

問題 1.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の開球 $B_r(x)$ の任意の二点は $B_r(x)$ 内の線分で結べることを 示しなさい。別の言い方をすると: $B_r(x)$ 内の任意の二点 $P,Q$ にたいして、 $P,Q$ を結ぶ線分の上の任意の点 $R$ は $B_r(x)$ に属することを示しなさい。

問題 1.5 (各1)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の部分集合 $S$ を

$$S=\{ (x,y)\vert \vert x y\vert<1\}$$

に対して

1. $S$ は 開集合だろうか?
2. $S$ は閉集合だろうか?
3. $S$ の任意の二点は $S$ 内の線分で結ぶことができるだろうか？
4. $S$ の任意の二点は $S$ 内の折れ線で結ぶことができるだろうか？

定義 1.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の元の列 $\{P_j; j=1,2,3,\dots,\}$ がコーシー列であるとは、

$$\forall \epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N} (n,m >N \implies d(P_n,P_m)<\epsilon)$$

が成り立つときにいう。

問題 1.6 (各1。ただし順に解くこと)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の元の列 $\{P_j\}$ がコーシー列であるとする。

$$P_j=( x_j^{(1)}, x_j^{(2)}, x_j^{(3)},\dots, x_j^{(n)})$$

と成分表示したとき、

1. 第一成分の列 $\{x_j^{(1)}; j=1,2,\dots\}$ は実数のコーシー列で あることを示しなさい。
2. ある $Q\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ があって、$\{P_j\}$ は $Q$ に収束することを しめしなさい。

問題 1.7 (各1)   つぎの各集合は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の部分集合として 有界であろうか。(本問については各集合の概形は描かなくても良い。)

1. $\{ (x,y) ; 1<e^x <100, 1<e^y<500\}$
2. $\{ (x,y) ; (x-1)^4+y^4<1\}$
3. $\{(a+b, a-b); a,b\in [0,5] \}$
4. $\{(\cos(a^5),e^{-a^2}); a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ .

問題 1.8 (各1。但し順に解くこと)   $P_n=(\cos(n),\sin(n))$ とおくとき、

1. $\{P_n; n=1,2,3,\dots \}$ は $(0,0)$ に収束しないことを示しなさい。
2. $\{P_n; n=1,2,3,\dots \}$ は なにかある点に収束するだろうか？
3. $\{P_n; n=1,2,3,\dots \}$ は 収束する部分列を持つだろうか？

問題 1.9   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を

$$f(x)=(\cos(x),\sin(x))$$

で定めたとき、$f$ のグラフ $\Gamma_f$ の概形を描きなさい。

問題 1.10   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を

$$f(x)=(e^x \cos(x),e^x\sin(x))$$

で定めたとき、$f$ のグラフ $\Gamma_f$ の概形を描きなさい。

問題 1.11   前問の $f$ の像は閉集合だろうか?