解析学 IA 演習 NO.3

問題 3.1 ( ℝ^{n} が位相空間の公理をみたすこと). (各 1 点。ただし順に解くこと。 )

(1) ℝ^{n} の開集合 U, V の共通部分 U ∩ V は開集合であることを示しなさい。

(2) ℝ^{n} の開集合 U, V の和集合 U ∪ V は開集合であることを示しなさい。

(3) ℝ^{n} の無限個の開集合 {U_{λ}}_{λ∈Λ} の和集合

⋃_{λ∈Λ} U_{λ}

は開集合であることを示しなさい。

問題 3.2. ℝ^{n} の開集合の列 {U_{j}}_{j=1}^{∞} で、その共通部分

⋂_{j=1}^{∞} U_{j}

が開集合ではない例を挙げなさい。

問題 3.3 (三角不等式の導出). (各 1. 順に解くこと。 ) n 次元のベクトル v = (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) と w = (w_{1}, w_{2}, …, w_{n}) とにたいし、その内積を

⟨v, w⟩ = ∑_{j=1}^{n} v_{j}w_{j}

で定義する。このとき、

(1) f(t) = ⟨tv + w, tv + w⟩ は t の二次式であることを示しなさい。 (その係数を ⟨v, v⟩, ⟨v, w⟩ 等を用いて書きなさい。

(2) f(t) の最小値が 0 以上であることと、二次式の最大、最小の知識を用いて、

|⟨v, w⟩|^{2} ≤ ⟨v, v⟩⟨w, w⟩

を示しなさい。

(3) \sqrt{⟨v, v⟩} のことを ||v|| と書くことにすると、

||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||

が成り立つことを前小問を使って示しなさい。 (三角不等式)

今回の以下の問題は、連続性の定義は ϵ-δ 論法を用いて行い、それを用いて解答すること。すなわち、 f が P で連続であるとは、

∀ϵ > 0∃δ > 0 (d(P, Q) < δ ⟹ d(f(P), f(Q)) < ϵ)

で定義することにする。単に「連続」といえば、「定義域の各点で連続」の意味である。

問題 3.4. S は ℝ^{m} の部分集合、 T は ℝ^{n} の部分集合であるとする。 f : S → T が連続で、 S の点列 P_{j}_{j=1}^{∞} が S の点 P に収束するならば、点列 {f(P_{j})}_{j=1}^{∞} は f(P) に収束することを示しなさい。

問題 3.5. ノルム関数

ℝ^{n} ∋ v ↦ ||v||(= d(v, 0)) ∈ ℝ

は連続であることを示しなさい。

問題 3.6. (各 1. ただし順に解くこと。 ) 直積集合 ℝ^{n} × ℝ^{n} を ℝ^{2n} と同一視する。このとき、

(1) ℝ^{n} の距離関数を d, ℝ^{2n} の距離関数を d_{1} と書くと、

d_{1}((P_{1}, P_{2}), (Q_{1}, Q_{2})) = \sqrt{d(P_{1}, Q_{1})^{2} + d(P_{2}, Q_{2})^{2}}

が成り立つことを示しなさい。

(2) 距離関数

ℝ^{n} × ℝ^{n} ∋ (P_{1}, P_{2}) ↦ d(P_{1}, P_{2}) ∈ ℝ

は連続であることを示しなさい。

問題 3.7.

ℝ^{2} ∋ (x, y) ↦ |x| + |y|

は連続であることを示しなさい。

問題 3.8. M_{2}(ℝ) × ℝ^{2} を成分を全て並べて ℝ^{6} と同一視する。このとき、行列とベクトルのかけ算で定まる写像

M_{4}(ℝ) × ℝ^{2} ∋ ((\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) , (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})) ↦ (\begin{matrix}ax + by \\ cx + dy \end{matrix})

は連続であることを示しなさい。

問題 3.9. ℝ^{2} 上の関数 f を

f(x, y) = \begin{cases}xy log(x^{2} + 5y^{2}) & (x, y) ≠ (0, 0) のとき。 \\ 0 & (x, y) = (0, 0) のとき。 \end{cases}

で定義する。この f は原点 (0, 0) で連続だろうか。

問題 3.10. ℝ^{2} 上の関数 f を

f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy}{|x|+|y|} & (x, y) ≠ (0, 0) のとき。 \\ 0 & (x, y) = (0, 0) のとき。 \end{cases}

で定義する。この f は原点 (0, 0) で連続だろうか。