解析学 IA演習 No.3

問題 3.1 (各1点。ただし順に解くこと。)  

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の開集合 $U,V$ の共通部分 $U\cap V$ は開集合であることを示しなさい。
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の開集合 $U,V$ の和集合 $U\cup V$ は開集合であることを示しなさい。
3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の無限個の開集合 $\{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ の和集合
   $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$$
   は開集合であることを示しなさい。

問題 3.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の開集合の列 $\{U_j\}_{j=1}^\infty$ で、その共通部分

$$\bigcap_{j=1}^\infty U_j$$

が開集合ではない例を挙げなさい。

問題 3.3 (各1.順に解くこと。)   $n$ 次元のベクトル $v=(v_1,v_2,\dots,v_n)$ と $w=(w_1,w_2,\dots,w_n)$ とに たいし、その内積を

$$\langle v,w\rangle=\sum_{j=1}^n v_j w_j$$

で定義する。 このとき、

1. $f(t)=\langle t v + w , t v + w\rangle$ は $t$ の 二次式であることを示しなさい。(その係数を $\langle v, v\rangle, \langle v,w \rangle$ 等を用いて書きなさい。
2. $f(t)$ の最小値が 0 以上であることと、二次式の最大、 最小の知識を用いて、
   $$\vert\langle v, w \rangle\vert^2 \leq \langle v, v \rangle \langle w, w \rangle$$
   を示しなさい。
3. $\sqrt{\langle v,v \rangle}$ のことを $\vert\vert v\vert\vert$ と書くことにすると、
   $$\vert\vert v+w\vert\vert \leq \vert\vert v\vert\vert + \vert\vert w\vert\vert$$
   が成り立つことを前小問を使って示しなさい。(三角不等式)

今回の以下の問題は、連続性の定義は $\epsilon$ -$\delta$ 論法を用いて行い、 それを用いて解答すること。すなわち、$f$ が $P$ で 連続であるとは、

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 \quad ( d(P,Q)<\delta \implies d(f(P),f(Q))<\epsilon)$$

で定義することにする。単に「連続」といえば、「定義域の各点で連続」の意味である。

問題 3.4   $S$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ の部分集合、$T$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合で あるとする。 $f:S \to T$ が連続で、 $S$ の点列 ${P_j}_{j=1}^\infty$ が $S$ の点 $P$ に 収束するならば、点列 $\{f(P_j)\}_{j=1}^\infty$ は $f(P)$ に収束することを 示しなさい。

問題 3.5   ノルム関数

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n \ni v \mapsto \vert\vert v\vert\vert (=d(v,0)) \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$

は連続であることを示しなさい。

問題 3.6 (各1.ただし順に解くこと。)   直積集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n \times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ を $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{2 n}$ と同一視する。このとき、

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の距離関数を $d$ , $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{2 n}$ の距離関数を $d_1$ と書くと、
   $$d_1((P_1,P_2),(Q_1,Q_2)) =\sqrt{d(P_1,Q_1)^2 +d(P_2,Q_2)^2}$$
   が成り立つことを示しなさい。
2. 距離関数
      $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n \times$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n \ni (P_1,P_2)\mapsto d(P_1,P_2) \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$
   は連続であることを示しなさい。

問題 3.7  

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2 \ni (x,y) \mapsto \vert x\vert+\vert y\vert$$

は連続であることを示しなさい。

問題 3.8   $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を成分を全て並べて $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^6$ と 同一視する。 このとき、 行列とベクトルのかけ算で定まる写像

$$M_4($$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)\times$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2 \ni \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \b... ...d{pmatrix}\right) \mapsto \begin{pmatrix} a x + b y \\ c x + d y \end{pmatrix}$$

は連続であることを示しなさい。

問題 3.9   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ 上の関数 $f$ を

$$% latex2html id marker 1173f(x,y)= \begin{cases} x y \log... ...$ のとき。} \\ 0 & \text { $(x,y)=(0,0)$ のとき。} \end{cases}$$

で定義する。この $f$ は原点 $(0,0)$ で連続だろうか。

問題 3.10   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ 上の関数 $f$ を

$$% latex2html id marker 1189f(x,y)= \begin{cases} \frac{x ... ...$ のとき。} \\ 0 & \text { $(x,y)=(0,0)$ のとき。} \end{cases}$$

で定義する。この $f$ は原点 $(0,0)$ で連続だろうか。