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解析学 IA演習 No.3

問題 3.1 (各1点。ただし順に解くこと。)  
  1. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ の開集合 $ U,V$ の共通部分 $ U\cap V$ は開集合であることを示しなさい。
  2. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ の開集合 $ U,V$ の和集合 $ U\cup V$ は開集合であることを示しなさい。
  3. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ の無限個の開集合 $ \{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ の和集合

    $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}
$

    は開集合であることを示しなさい。

問題 3.2   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ の開集合の列 $ \{U_j\}_{j=1}^\infty$ で、その共通部分

$\displaystyle \bigcap_{j=1}^\infty U_j
$

が開集合ではない例を挙げなさい。

問題 3.3 (各1.順に解くこと。)   $ n$ 次元のベクトル $ v=(v_1,v_2,\dots,v_n)$ $ w=(w_1,w_2,\dots,w_n)$ とに たいし、その内積を

$\displaystyle \langle v,w\rangle=\sum_{j=1}^n v_j w_j
$

で定義する。 このとき、
  1. $ f(t)=\langle t v + w , t v + w\rangle$$ t$ の 二次式であることを示しなさい。(その係数を $ \langle v, v\rangle, \langle v,w \rangle$ 等を用いて書きなさい。
  2. $ f(t)$ の最小値が 0 以上であることと、二次式の最大、 最小の知識を用いて、

    % latex2html id marker 1048
$\displaystyle \vert\langle v, w \rangle\vert^2 \leq
\langle v, v \rangle
\langle w, w \rangle
$

    を示しなさい。
  3. % latex2html id marker 1050
$ \sqrt{\langle v,v \rangle} $ のことを $ \vert\vert v\vert\vert$ と書くことにすると、

    % latex2html id marker 1054
$\displaystyle \vert\vert v+w\vert\vert \leq \vert\vert v\vert\vert + \vert\vert w\vert\vert
$

    が成り立つことを前小問を使って示しなさい。(三角不等式)

今回の以下の問題は、連続性の定義は $ \epsilon$ -$ \delta$ 論法を用いて行い、 それを用いて解答すること。すなわち、$ f$$ P$ で 連続であるとは、

% latex2html id marker 1064
$\displaystyle \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 \quad
( d(P,Q)<\delta \implies d(f(P),f(Q))<\epsilon)
$

で定義することにする。単に「連続」といえば、「定義域の各点で連続」の意味である。

問題 3.4   $ S$ $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^m$ の部分集合、$ T$ $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ の部分集合で あるとする。 $ f:S \to T$ が連続で、 $ S$ の点列 $ {P_j}_{j=1}^\infty$$ S$ の点 $ P$ に 収束するならば、点列 $ \{f(P_j)\}_{j=1}^\infty$$ f(P)$ に収束することを 示しなさい。

問題 3.5   ノルム関数

   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^n \ni v \mapsto \vert\vert v\vert\vert (=d(v,0)) \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$

は連続であることを示しなさい。

問題 3.6 (各1.ただし順に解くこと。)   直積集合 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n \times$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^{2 n}$ と同一視する。このとき、
  1. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ の距離関数を $ d$ , $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^{2 n}$ の距離関数を $ d_1$ と書くと、

    % latex2html id marker 1127
$\displaystyle d_1((P_1,P_2),(Q_1,Q_2))
=\sqrt{d(P_1,Q_1)^2 +d(P_2,Q_2)^2}
$

    が成り立つことを示しなさい。
  2. 距離関数

       $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^n \times$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^n \ni (P_1,P_2)\mapsto d(P_1,P_2) \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$

    は連続であることを示しなさい。

問題 3.7  

   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^2 \ni (x,y) \mapsto \vert x\vert+\vert y\vert
$

は連続であることを示しなさい。

問題 3.8   $ M_2($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )\times$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ を成分を全て並べて $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^6$ と 同一視する。 このとき、 行列とベクトルのかけ算で定まる写像

$\displaystyle M_4($$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle )\times$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^2
\ni
\left(
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix},
\b...
...d{pmatrix}\right)
\mapsto
\begin{pmatrix}
a x + b y \\
c x + d y
\end{pmatrix}$

は連続であることを示しなさい。

問題 3.9   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ 上の関数 $ f$

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 1173f(x,y)=
\begin{cases}
x y \log...
...$ のとき。} \\
0 & \text { $(x,y)=(0,0)$ のとき。}
\end{cases}\end{displaymath}

で定義する。この $ f$ は原点 $ (0,0)$ で連続だろうか。

問題 3.10   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ 上の関数 $ f$

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 1189f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{x ...
...$ のとき。} \\
0 & \text { $(x,y)=(0,0)$ のとき。}
\end{cases}\end{displaymath}

で定義する。この $ f$ は原点 $ (0,0)$ で連続だろうか。


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2009-04-21