解析学 IA 演習 NO.4

問題 4.1 (各 1(但し順に解くこと)). f(x, y) = x^{2}y^{3} にたいして、

(1)

f_{x}(1, 2)(= \frac{∂f}{∂x}|_{(1,2)}), f_{y}(1, 2)(= \frac{∂f}{∂y} |_{(1,2)})

をそれぞれ求めなさい。

(2) (a, b) ∈ ℝ^{2} に対して

\frac{∂f}{∂x}|_{(a,b))}, \frac{∂f}{∂y} |_{(a,b)}

をそれぞれ求めなさい。

(3) 全微分 df|_{(a,b)} を定義にしたがって求めなさい。問題 4.2. (各 1) 問題 4.1 の (2) と (3) とを f(x, y) = sin(xy) に対して繰り返しなさい。問題 4.3. (各 1) 問題 4.1 の (2) と (3) とを f(x, y) = x^{y} (定義域は {(x, y); x > 0, y > 0}) に対して繰り返しなさい。問題 4.4. (各 1) 問題 4.1 の (2) と (3) とを f(x, y) = \sqrt{y} (定義域は {(x, y); x > 0, y > 0}) に対して繰り返しなさい。問題 4.5. (各 1) 問題 4.1 の (2) と (3) とを f(x, y) = arctan(y/x) (定義域は {(x, y); x ≠ 0}) に対して繰り返しなさい。問題 4.6.

f (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}x^{2} + y^{2} \\ xy \\ x \end{matrix})

に対して、 Df|_{(1,2)} を求めなさい。すなわち、

f (\begin{matrix}1 + h \\ 2 + k \end{matrix}) = f (\begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) + L (\begin{matrix}h \\ k \end{matrix}) + o(\sqrt{h^{2} + k^{2}})

をみたす行列 L を求めなさい。問題 4.7.

f (\begin{matrix}r \\ θ \end{matrix}) = (\begin{matrix}r cos(θ) \\ r sin(θ) \end{matrix})

と (R, t) ∈ ℝ^{2} に対して、 Df|_{(R,t)} を求めなさい。問題 4.8.

g (x, y) = (\begin{matrix}√ & \overline{x^{2} + y^{2}} \\ arctan(y/x) \end{matrix})

と (a, b) ∈ ℝ^{2} (a ≠ 0) に対して、 Df|_{(a,b)} を求めなさい。