解析学 IA 演習 NO.5

問題 5.1.

f : ℝ^{2} ∋ (r, θ) ↦ (r cos(θ), r sin(θ)) ∈ ℝ^{2}

について、 f の (r_{0}, θ_{0}) における微分 Df_{(r_{0},θ_{0})} とその行列式 det(Df_{(r_{0},θ_{0})}) を求めよ。

問題 5.2.

f : ℝ^{3} ∋ (r, θ, ϕ) ↦ (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ)) ∈ ℝ^{3}

について、 f の (r_{0}, θ_{0}, ϕ_{0}) における微分 Df_{(r_{0},θ_{0},ϕ_{0})} とその行列式 det(Df_{(r_{0},θ_{0},ϕ_{0})}) を求めよ。

問題 5.3. (各 1) f(x, y) = x^{2}y にたいして、

(1) x = u, y = u + v^{3} とおいて、 f(x, y) を u, v で書き表しなさい。それを g(u, v) とおく。すなわち、

g(u, v) = f(u, u + v^{3}).

(2) 偏導関数 g_{u}, g_{v} をそれぞれ求めよ。

(3) 微分の連鎖律

g_{u} = f_{x}x_{u} + f_{y}y_{u}, g_{v} = f_{x}x_{v} + f_{y}y_{v}.

をこの場合に確かめなさい。

問題 5.4. (各 1) f(x, y) = sin(x)y にたいして、問題 5.3 の (2) と (3) を繰り返しなさい。

二変数 (x, y) の関数 f(x, y) に関する偏微分方程式

f_{x} = 0

は、「f は y を止めて x を動かしたときに定数である」ということを意味しているから、その一般解は、

f(x, y) = g(y)

(g(y) は「任意の」一変数関数) というかたちで与えられる。以下の問題はこれを踏まえて答えること。

問題 5.5. (各 1) 二変数 (x, y) の関数 f に関する偏微分方程式

f_{x} − f_{y} = 0

を解きたい。

(1) x = −u + v, y = u と変数変換して、上記方程式を g(u, v) = f(−u + v, u) に関する方程式に書き直しなさい。

(2) この偏微分方程式の一般解を求めなさい。問題 5.6. 二変数 (x, y) の関数 f に関する偏微分方程式

f_{x} − 2f_{y} = 0

を解きなさい。 (ヒント:x, y を適当に一次変換してみよ。 )

問題 5.7. 三変数 (x, y, z) の関数 f に関する偏微分方程式

f_{x} − 2f_{y} + 3f_{z} = 0

を解きなさい。

問題 5.8 (配った問題は間違っていたので、欠番).

問題 5.9. (各 1) 微分可能な一変数関数 g(t) が与えられているとする。このとき、

(1) f(x, y) = g(x+y^{2}) なる二変数関数に対して、偏導関数 f_{x}, f_{y} を g (とその微分) を用いて書き、 2yf_{x} − f_{y} = 0 をしめしなさい。

(2) (全小問とは無関係に一般の二変数関数 f に関して、 ) 偏微分方程式 2yf_{x} − f_{y} = 0 を (適当な変数変換を用いて) 解きなさい。

(ヒント:一方の変数には u = x + y^{2} を選べば良い。もう一方の変数 v としては x か y のいずれかをとれば良いわけだが、 x, y が u, v から逆に解けるほうが気持が良い.)

問題 5.10. (各 1) 微分可能な一変数関数 g(t) が与えられているとする。このとき、

(1) f(x, y, z) = g(x + y^{2} + z^{3}) なる三変数関数に対して、偏導関数 f_{x}, f_{y}, f_{z} を g (とその微分) を用いて書き、

f_{y} = 2yf_{x}
f_{z} = 3z^{2}f_{x}

をしめしなさい。

(2) (全小問とは無関係に一般の三変数関数 f に関して、 ) 連立偏微分方程式

f_{y} = 2yf_{x}
f_{z} = 3z^{2}f_{x}

を (適当な変数変換を用いて) 解きなさい。