解析学 IA演習 No.5

問題 5.1  

$$f:$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2 \ni (r,\theta) \mapsto (r\cos(\theta),r\sin(\theta))\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2$$

について、 $f$ の $(r_0,\theta_0)$ における微分 $Df_{(r_0,\theta_0)}$ と その行列式 $\operatorname{det}(Df_{(r_0,\theta_0)})$ を求めよ。

問題 5.2  

$$f:$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^3 \ni (r,\theta,\phi) \mapsto (r\cos(\theta)\cos(\phi),r\sin(\theta)\cos(\phi),r\sin(\phi))\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^3$$

について、 $f$ の $(r_0,\theta_0,\phi_0)$ に おける微分 $Df_{(r_0,\theta_0,\phi_0)}$ と その行列式 $\operatorname{det}(Df_{(r_0,\theta_0,\phi_0)})$ を求めよ。

問題 5.3 (各1)   $f(x,y)=x^2 y$ にたいして、

1. $x=u,y=u+v^3$ とおいて、$f(x,y)$ を $u,v$ で書き表しなさい。 それを $g(u,v)$ とおく。すなわち、
   $$g(u,v)=f(u,u+v^3).$$

2. 偏導関数 $g_u, g_v$ をそれぞれ求めよ。
3. 微分の連鎖律
   $$g_u = f_x x_u + f_y y_u ,\quad g_v = f_x x_v + f_y y_v.$$
   をこの場合に確かめなさい。

問題 5.4 (各1)   $f(x,y)=\sin(x)y$ にたいして、問題 5.3 の(2) と (3) を繰り返しなさい。

二変数 $(x,y)$ の関数 $f(x,y)$ に関する偏微分方程式

$$f_x=0$$

は、「$f$ は $y$ を止めて $x$ を動かしたときに定数である」 ということを意味しているから、その一般解は、

$$f(x,y)=g(y)$$

($g(y)$ は「任意の」一変数関数) というかたちで与えられる。以下の問題はこれを踏まえて答えること。

問題 5.5 (各1)   二変数 $(x,y)$ の関数 $f$ に関する偏微分方程式

$$f_x-f_y=0$$

を解きたい。

1. $x=-u+v, y=u$ と変数変換して、上記方程式を $g(u,v)=f(-u+v,u)$ に 関する方程式に書き直しなさい。
2. この偏微分方程式の一般解を求めなさい。

問題 5.6   二変数 $(x,y)$ の関数 $f$ に関する偏微分方程式

$$f_x-2 f_y=0$$

を解きなさい。(ヒント:$x,y$ を適当に一次変換してみよ。)

問題 5.7   三変数 $(x,y,z)$ の関数 $f$ に関する偏微分方程式

$$f_x-2 f_y+3 f_z=0$$

を解きなさい。

問題 5.8 (配った問題は間違っていたので、欠番)  

問題 5.9 (各1)   微分可能な一変数関数 $g(t)$ が与えられているとする。このとき、

1. $f(x,y)=g(x+y^2)$ なる二変数関数に対して、 偏導関数 $f_x,f_y$ を $g$ (とその微分)を用いて書き、 $2 y f_x -f_y=0$ をしめしなさい。
2. (全小問とは無関係に一般の二変数関数 $f$ に関して、) 偏微分方程式 $2 y f_x -f_y=0$ を(適当な変数変換を用いて)解きなさい。 (ヒント:一方の変数には $u=x+y^2$ を選べば良い。もう一方の変数 $v$ としては $x$ か $y$ のいずれかをとれば良いわけだが、$x,y$ が $u,v$ から 逆に解けるほうが気持が良い.)

問題 5.10 (各1)   微分可能な一変数関数 $g(t)$ が与えられているとする。このとき、

1. $f(x,y,z)=g(x+y^2+z^3)$ なる三変数関数に対して、 偏導関数 $f_x,f_y,f_z$ を $g$ (とその微分)を用いて書き、

   $$f_y=2 y f_x$$

   $$f_z= 3 z^2 f_x$$

   
   
   をしめしなさい。
2. (全小問とは無関係に一般の三変数関数 $f$ に関して、) 連立偏微分方程式

   $$f_y=2 y f_x$$

   $$f_z= 3 z^2 f_x$$

   
   
   を(適当な変数変換を用いて)解きなさい。